定義：最大値で書く Legendre 変換

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第7章 §1.7.2　★★★ $f^*(p)=\sup_x\,[px-f(x)]$。導関数どうしが逆関数になり、2階導関数どうしは逆数になる

最大値による定義

図 1.7.1 の右のように、原点を通る直線 $px$ とグラフ $f(x)$ の縦の差 $px-f(x)$ を考える。$x$ の関数として微分すると $p-f'(x)$ で、$f$ が下に凸なら $f'$ は増加するので、差は $f'(x)=p$ となる接点 $x_0$ まで増え、そこから先は減る。したがって差の最大値は接点でとられ、その値は式 (1.7.2) の $f^*(p)$ に一致する。この「最大値」の形を定義に採ると、接点を探す手間を定義に含めることができ、微分できない関数や凸でない関数にもそのまま使うことができる。

$f$ が2回微分できて $f''(x)>0$（狭義に下に凸）なら、$f'$ は狭義に増加するので、各 $p$（$f'$ の値域の中）に対して $f'(x)=p$ の解 $x(p)$ がただ1つあり、

$$f^*(p)=p\,x(p)-f\bigl(x(p)\bigr),\qquad f'\bigl(x(p)\bigr)=p\tag{1.7.4}$$

となる。物理で使う Legendre 変換は、ほとんどがこの形である。

導関数は逆関数どうし

角括弧が消えた理由は、$x(p)$ が $px-f(x)$ の最大点だからである。最大点では $x$ についての微分が $0$ なので、$p$ を動かしたときに最大点が動いても、その動きは1次では値を変えない。この事実は、後で $L$ や $U$ に取り替えない変数が入ったときにも同じ形で使う（1.7.4節の式 (1.7.10)）。

式 (1.7.5) は、2つの関数の関係を対称な形にする。$f$ の側では「$x$ を入れると傾き $p=f'(x)$ が出る」、$f^*$ の側では「$p$ を入れると傾き $x=(f^*)'(p)$ が出る」。$x$ と $p$ は互いに相手の関数の傾きになっていて、変換の前後で役を交換する。2階導関数が逆数どうしになることは、図で言えば「$f$ のグラフが急に曲がる所では、傾き $p$ を少し変えても接点 $x$ はあまり動かない」ということである。

Young の不等式

定義 (1.7.3) から、任意の $x$ と $p$ について $f^*(p)\ge px-f(x)$、すなわち

$$f(x)+f^*(p)\ \ge\ px\tag{1.7.6}$$

が成り立つ。これを Young の不等式（Fenchel–Young の不等式）と呼ぶ。$f''>0$ なら、等号は $p=f'(x)$（$x$ と $p$ が互いの傾き）のときだけ成り立つ。$f(x)=\frac12x^2$ では $f^*=\frac12p^2$ で、不等式は $\frac12x^2+\frac12p^2\ge px$、すなわち $\frac12(x-p)^2\ge0$ になる。この不等式は、Legendre 変換の対が「$x$ と $p$ の積 $px$ を上から押さえる2つの関数の組」であることを示している。解析力学では $L+H\ge p\dot q$、熱力学では $U-F\ge TS$ という形で現れる（1.7.5節）。