この章で選ぶもの：Hamiltonian $H(q,p,t)$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.1　★★★ $L$ の速度 $\dot q$ を正準運動量 $p$ に取り替えた関数 $H(q,p,t)=\sum_ip_i\dot q_i-L$ を選ぶ

第1部第4章までで、運動は作用 $S[q]=\int L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d} t$ の停留として書けるようになった。停留の条件は Euler–Lagrange 方程式で、一般化座標 $q_i$ についての2階の微分方程式が $f$ 本並ぶ。この章では同じ運動を、一般化座標 $q_i$ と正準運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ の $2f$ 個の変数で書き直す。使う関数は Lagrangian $L$ を Legendre 変換して作る Hamiltonian $H(q,p,t)=\sum_ip_i\dot q_i-L$ で、運動方程式は$\dot q_i=\partial H/\partial p_i$, $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ という1階の方程式 $2f$ 本になる（Hamilton 方程式）。

書き直して増えるものは3つある。1つ目は相空間で、$(q,p)$ を座標とする $2f$ 次元の空間の各点から軌道が1本ずつ出ていき、自由度1の系なら運動の全体を平面上の図（相図）として見渡すことができる。2つ目は保存量の読み方で、$H$ が時刻を含まなければ $H$ が保存し、$H$ がある座標 $q_k$ を含まなければ $p_k$ が保存して、問題の自由度が1つ減る。3つ目は流れの性質で、Hamilton 方程式の流れは相空間の面積（一般には $2f$ 次元の体積）を変えない。この性質は第3部の統計力学（Liouville の定理）の出発点になり、数値計算では長時間の積分の方法を選ぶ基準になる。最後に、Newton の運動方程式を1階の連立方程式に直す授業での書き方と、この章の形を並べる。

正準運動量と Hamiltonian

自由度 $f$ の系の Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ が与えられているとする。第1部第7章の式 (1.7.8) で作った正準運動量を、各 $i$ について

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}(q,\dot q,t)\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.8.1}$$

と書く（$q_i$ に共役な正準運動量）。直交座標の粒子 $L=\frac12m\dot x^2-V(x)$ では $p=m\dot x$ で、Newton 力学の運動量と同じものになる。極座標の角度 $\theta$ に共役な $p_\theta$ は角運動量になり（下の例題）、電磁場の中の荷電粒子では $p$ は $m\dot x$ と一致しない（第2部第2章）。正準運動量は「$L$ を速度で偏微分したもの」として定義される量で、速度に質量を掛けたものとは限らない。

式 (1.8.1) は $(q,\dot q,t)$ から $p$ への対応を与える。$q$ と $t$ を止めたとき、この対応が $\dot q$ について解けて$\dot q_i=\dot q_i(q,p,t)$ と書けることを仮定する。十分条件は、$f\times f$ 行列 $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ が正則（行列式が $0$ でない）であることで、運動エネルギーが速度の正定値2次式である普通の力学系はこれを満たす。この条件を満たす $L$ を正則な Lagrangian と呼ぶ。

$H$ は $L$ の速度の変数についての Legendre 変換である（第1部第7章）。第1部第7章で示したとおり、Legendre 変換は関数を「接線の傾き $p$ と切片」で表し直す操作で、$L$ が $\dot q$ について凸なら情報を失わずに逆に戻すことができる。この章では、第7章の取り替えない変数の規則（式 (1.7.10)）を $f$ 自由度で使う。変換した変数については $\partial H/\partial p_i=\dot q_i$、変換に加わらない変数（$q$ と $t$）については $\partial H/\partial q_i=-\partial L/\partial q_i$ と $\partial H/\partial t=-\partial L/\partial t$ が成り立つ。

例：1次元の粒子と調和振動子

$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ のとき、$p=m\dot q$ を $\dot q=p/m$ と解いて式 (1.8.2) に入れると

$$H=p\cdot\frac pm-\Bigl[\frac12m\Bigl(\frac pm\Bigr)^2-V(q)\Bigr]=\frac{p^2}{2m}+V(q)\tag{1.8.3}$$

となる。この場合の $H$ は運動エネルギーとポテンシャルの和で、力学的エネルギーと同じ値をとる。ただし $H$ は速度でなく運動量の関数として書かれている。調和振動子 $V=\frac12m\omega^2q^2$ では $H=p^2/(2m)+\frac12m\omega^2q^2$ で、$q$ と $p$ を対等に含む。

$H$ がいつでも力学的エネルギーに等しいわけではない。$H=T+V$ が成り立つ条件と、成り立たないのに $H$ が保存する例は1.8.4節で扱う。