当てる道具：Legendre 変換と変分から Hamilton 方程式へ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.2　★★★ Hamilton 方程式は第7章で Euler–Lagrange 方程式の書き換えとして出した。この章では相空間の作用の停留から、別の道筋で導く

第7章の結果：Euler–Lagrange 方程式の書き換え

第7章の全微分の計算（式 (1.7.15)）を各 $i$ について行うと、$\partial L/\partial\dot q_i=p_i$ により $\mathrm{d}\dot q_i$ を含む項が打ち消し合い、

$$\mathrm{d} H=\sum_i\Bigl(\dot q_i\,\mathrm{d} p_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}\mathrm{d} q_i\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d} t\tag{1.8.4}$$

が残る。$\mathrm{d} p_i$, $\mathrm{d} q_i$, $\mathrm{d} t$ の係数を読むと

$$\frac{\partial H}{\partial p_i}=\dot q_i,\qquad\frac{\partial H}{\partial q_i}=-\frac{\partial L}{\partial q_i},\qquad\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\tag{1.8.5}$$

が得られる。これは第7章の規則 (1.7.10) を $f$ 自由度で書いたもので、$\mathrm{d}\dot q$ の項が消えたことが、$H$ を $\dot q$ によらない $(q,p,t)$ の関数として扱ってよい理由になっている。

ここまでは運動方程式を使っていない。式 (1.8.5) は相空間の任意の点で成り立つ恒等式である。ここで運動方程式を入れる。Euler–Lagrange 方程式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ は $\dot p_i=\partial L/\partial q_i$ と書け、式 (1.8.5) の第2式で右辺を $-\partial H/\partial q_i$ に置き換えることができる。

証明

Euler–Lagrange 方程式から式 (1.8.6) が出ることは、第7章の式 (1.7.11) の導出を各 $i$ について行えばよい。逆に $(q(t),p(t))$ が式 (1.8.6) を満たすなら、第1式と式 (1.8.5) の第1式から $\dot q_i(t)$ は $p_i(t)$ に対応する速度に等しく、したがって $p_i(t)=\partial L/\partial\dot q_i$ が $q(t)$ の速度で成り立つ。これを第2式に入れると $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}$ となり、Euler–Lagrange 方程式が出る。

2階の方程式 $f$ 本が1階の方程式 $2f$ 本になった。未知関数の数が倍になったかわりに、各方程式は1階で、右辺は1つの関数 $H$ の偏微分だけで書かれている。第1式は「速度と運動量の関係」（Legendre 変換の逆）、第2式は「力の法則」にあたる。$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ では第1式が $\dot q=p/m$、第2式が $\dot p=-V'(q)$ となり、合わせると $m\ddot q=-V'(q)$ に戻る。

相空間の作用の停留として導く

Hamilton 方程式は、作用の停留からも直接導くことができる。式 (1.8.2) を $L$ について解くと $L=\sum_ip_i\dot q_i-H$ なので、$q(t)$ と $p(t)$ の2つの関数を入れて数を返す汎関数

$$S[q,p]\coloneqq\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\sum_ip_i\dot q_i-H(q,p,t)\Bigr)\mathrm{d} t\tag{1.8.7}$$

を考える。ここで $p(t)$ は $q(t)$ の速度から作るのでなく、$q(t)$ とは別に選ぶ関数とする。$S[q,p]$ を相空間の作用と呼ぶ。

第1部第3章の手順どおり、許される向きを $\eta_i(t)$, $\zeta_i(t)$ として $q_i\to q_i+\epsilon\eta_i$, $p_i\to p_i+\epsilon\zeta_i$ とずらす。$q$ の端は固定する（$\eta_i(t_1)=\eta_i(t_2)=0$）が、$\zeta_i$ の端には条件を付けない。$\delta q_i=\epsilon\eta_i$, $\delta p_i=\epsilon\zeta_i$ と書くと、第1変分は

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Bigl(\delta p_i\,\dot q_i+p_i\,\delta\dot q_i-\frac{\partial H}{\partial q_i}\delta q_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i\Bigr)\mathrm{d} t .$$

第2項を部分積分すると、端の項 $\bigl[\sum_ip_i\delta q_i\bigr]_{t_1}^{t_2}$ は $q$ の端の固定で $0$ になり、

$$\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Bigl[\Bigl(\dot q_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\Bigr)\delta p_i-\Bigl(\dot p_i+\frac{\partial H}{\partial q_i}\Bigr)\delta q_i\Bigr]\mathrm{d} t\tag{1.8.8}$$

を得る。$\eta_i$ と $\zeta_i$ は互いに独立に選べるので、変分法の基本補題（第1部第3章）を $\delta p_i$ と $\delta q_i$ の係数それぞれに使うと、停留の条件は式 (1.8.6) と同じになる。

この導き方では、$p$ の変分から第1式 $\dot q_i=\partial H/\partial p_i$ が出る。第1式は Legendre 変換の関係 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ の言い換えなので、$p$ を独立に動かして停留させる操作が、Legendre 変換を作用の中で行っていることになる。第1部第7章の言葉では、$L(\dot q)=\max_p\bigl(p\dot q-H(p)\bigr)$（$H$ が $p$ について凸のとき）で、最大を与える $p$ を探す条件が $\dot q=\partial H/\partial p$ である。また、被積分関数が $\dot p$ を含まないので、$p$ の端の値を固定する必要がない。端で値を決める変数は $q$ だけで、$2f$ 本の1階の方程式に対して端の条件が $2f$ 個（両端で $f$ 個ずつ）となり、数が合う。