出てくるもの (1)：相空間と相図

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.3　★★★ 相空間の各点からは軌道がただ1本出る。自由度1で $H$ が時刻を含まなければ、軌道は $H$ の等高線そのものになる

相空間の流れ

Hamilton 方程式 (1.8.6) は、相空間の各点 $(q,p)$ に速度のベクトル

$$\bigl(\dot q,\dot p\bigr)=\Bigl(\frac{\partial H}{\partial p},\,-\frac{\partial H}{\partial q}\Bigr)\tag{1.8.9}$$

を割り当てる（成分は $2f$ 個）。この速度場に沿って点を動かすことが時間発展で、これを相空間の流れと呼ぶ。右辺が滑らかなら、常微分方程式の解の存在と一意性の定理（Picard–Lindelöf。近似の数理 第2章）により、各点を通る解はただ1つに決まる。したがって $H$ が時刻を含まないとき、相空間の2本の軌道は交わらない。

配置空間（$q$ だけの空間）ではこうはならない。振り子が最下点を右向きに通る軌道と左向きに通る軌道は、配置空間では同じ点 $\theta=0$ を通るが、相空間では $p>0$ と $p<0$ の別の点を通る。配置空間で運動が決まるには位置と速度の2つを指定する必要があり、相空間ではその2つが点の座標になっている。相空間の1点が系の状態を完全に指定し、時間発展はその点の移動になる。第3部で統計力学の確率分布をこの空間の上に置く（第3部第1章）のはこのためである。

運動が初期条件で1つに決まる条件と、その外側

古典力学の決定論は、「$V$ と初期条件を決めれば運動が1つに決まる」という主張である。これは上の存在と一意性の定理そのもので、定理が使う仮定は、Hamilton 方程式の右辺が状態について Lipschitz 連続であることである。ある定数 $K$ があって、すべての点の組で

$$\lvert F(x)-F(y)\rvert \le K\lvert x-y\rvert$$

が成り立つとき、関数 $F$ は Lipschitz 連続であるという。力の導関数が有界ならこの不等式が成り立つので、滑らかな $V$ では仮定は満たされている。

この仮定が崩れる例が Norton のドームである¹1J. D. Norton (2008), Philosophy of Science 75, 786–798.下の脚注へ閉じる。頂上から面に沿って測った距離を $r\ge0$ とし、頂上の近くでポテンシャルが

$$V(r)=-\frac23ma\,r^{3/2}\qquad(a>0)$$

となる形の面の上に、質量 $m$ の質点を置く。力は $-V'(r)=ma\,r^{1/2}$ で、その導関数は $r^{-1/2}$ に比例して頂上で発散する。したがって頂上 $r=0$ では Lipschitz 連続でない。

運動方程式 $\ddot r=a\,r^{1/2}$ には、頂上で静止したままの解 $r(t)=0$ がある。それとは別に、任意の時刻 $T$ まで静止していてから滑り出す解

$$r(t)=\begin{cases}0&(t\le T)\\[2pt] \dfrac{a^2}{144}(t-T)^4&(t>T)\end{cases}\tag{1.8.10}$$

もある。代入すると $\ddot r=\frac{a^2}{12}(t-T)^2=a\,r^{1/2}$ を満たす。時刻 $T$ では位置・速度・加速度のどれも $0$ で、2つの区間は連続につながる。頂上で静止という同じ初期条件から、滑り出す時刻 $T$ の違う解が無数に出るので、運動は1つに決まらない。

一意に決まることと、先の状態を予測できることは別である。初期値の小さなずれが、正の定数 $\lambda$ を使って $\delta\,\mathrm{e}^{\lambda t}$ のように指数関数で広がる系を、カオス的であるという。

この系では、解が1つに決まっていても、初期値を有限の精度でしか知らなければ先の状態は予測できない。予測できる時間は、系の大きさを $\ell$ として $\lambda^{-1}\ln(\ell/\delta)$ ほどである。

さらに多粒子の系では、初期条件そのものを測っていない。統計力学が1本の軌道でなく、相空間に広げた点の集まり（アンサンブル）を追うのはこのためである（第3部第1章）。量子力学の時間発展が同じ意味で決定論的であることと、確率がどこで入るかは第4部第2章で述べる。

自由度1の相図

自由度が1で $H$ が時刻を含まないとき、次の節で示すように $H$ の値は運動の間変わらない。したがって軌道は $H(q,p)=E$ の等高線の上を動く。等高線を何本か描いた図を相図と呼ぶ。運動方程式を解かなくても、等高線を描けば軌道の形がわかる。

長さ $l$ の糸につるした質量 $m$ の振り子では、鉛直下向きからの角度を $\theta$ として $L=\frac12ml^2\dot\theta^2+mgl\cos\theta$、$p=ml^2\dot\theta$、

$$H(\theta,p)=\frac{p^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\tag{1.8.11}$$

である。Hamilton 方程式は $\dot\theta=p/(ml^2)$, $\dot p=-mgl\sin\theta$ となる。図 1.8.1 は $m=l=g=1$ の単位でこの $H$ の等高線を描いたものである。

図から運動の種類が3つ読み取れる。$-mgl<H<mgl$ では等高線は原点を囲む閉曲線で、振り子は往復運動をする。$H>mgl$ では $p$ が符号を変えず、振り子は一方向に回り続ける。その境目の $H=mgl$ の等高線は、最上点 $\theta=\pm\pi$（$p=0$）を通る曲線で、セパラトリクス（分離線）と呼ぶ。セパラトリクスの上では $\frac{p^2}{2ml^2}=mgl(1+\cos\theta)=2mgl\cos^2\frac\theta2$ なので

$$p=\pm2ml^2\sqrt{\frac gl}\cos\frac\theta2\tag{1.8.12}$$

となり、最上点に近づくにつれて $p\to0$ になる。

平衡点は $\dot\theta=\dot p=0$、すなわち $\partial H/\partial p=\partial H/\partial\theta=0$ の点で、$\theta=0$ と $\theta=\pi$ である。平衡点のまわりで Hamilton 方程式を1次まで展開すると性質が分かれる。$\theta=0$ のまわりでは $\dot p\approx-mgl\,\theta$ で、解は角振動数 $\omega_0=\sqrt{g/l}$ の振動になる（等高線は楕円）。$\theta=\pi+\varphi$ のまわりでは $\dot p\approx+mgl\,\varphi$ で、解は $\mathrm{e}^{\pm\omega_0t}$ のように指数関数的に増えるか減る（等高線は双曲線で、点は鞍点になる）。Hamilton 方程式の1次の部分の行列はどちらの場合も対角成分の和が $0$ なので、2つの固有値は和が $0$ の組 $\pm\mathrm{i}\omega_0$ か $\pm\omega_0$ になる。固有値の実部がすべて負になる平衡点（摩擦のある系の漸近安定な点）は、Hamilton 方程式の流れには現れない。

等高線から周期を出す

往復運動の周期は、等高線の上で時間を足し合わせれば求まる。振幅を $\theta_0$ とすると $H=-mgl\cos\theta_0$ で、等高線の上では $\dot\theta=p/(ml^2)=\sqrt{2(g/l)(\cos\theta-\cos\theta_0)}$ なので、

$$T_{\mathrm p}(\theta_0)=4\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\dot\theta}=4\sqrt{\frac lg}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{2(\cos\theta-\cos\theta_0)}}\tag{1.8.13}$$

となる（$4$ は $0\to\theta_0$ の4分の1周期が4回で1周期になることから）。$\theta_0\to0$ では $\cos\theta-\cos\theta_0\approx(\theta_0^2-\theta^2)/2$ で、積分は $\pi/2$ になり、$T_{\mathrm p}\to2\pi\sqrt{l/g}$ に戻る。振幅が大きくなると周期は長くなる。セパラトリクスに近づくと、最上点の近くで $\dot\theta$ が $0$ に近づくので、周期は限りなく長くなる。

1　J. D. Norton (2008), Philosophy of Science 75, 786–798.