出てくるもの (2)：$H$ の保存と循環座標

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.4　★★★ $H$ が $t$ を含まなければ $H$ が保存し、$q_k$ を含まなければ $p_k$ が保存して自由度が1つ減る

$H$ の時間変化

運動に沿った $H$ の変化を連鎖律で計算し、Hamilton 方程式 (1.8.6) を入れると

$$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial H}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\dot p_i\Bigr)+\frac{\partial H}{\partial t} =\sum_i\Bigl(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Bigr)+\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial t}\tag{1.8.14}$$

を得る。和の中の2項は打ち消し合う。したがって $H$ が時刻 $t$ をあらわに含まなければ、$H$ の値は運動の間一定である。式 (1.8.5) の第3式から $\partial H/\partial t=-\partial L/\partial t$ なので、これは「$L$ が $t$ をあらわに含まなければ $H$ が保存する」と言っても同じである。時刻をずらす変換と $H$ の保存のつながりは、第1部第10章の Noether の定理で扱う（第1部第10章）。

$H$ が力学的エネルギーに等しい条件

保存する $H$ が力学的エネルギー $T+V$ に等しいとは限らない。等しくなる条件を調べる。運動エネルギーが速度の2次の同次式 $T=\frac12\sum_{i,j}a_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j$（$a_{ij}=a_{ji}$）で、$V$ が速度を含まないとする。このとき $p_i=\sum_ja_{ij}\dot q_j$ なので $\sum_ip_i\dot q_i=\sum_{i,j}a_{ij}\dot q_i\dot q_j=2T$ となり、

$$H=\sum_ip_i\dot q_i-L=2T-(T-V)=T+V\tag{1.8.15}$$

が成り立つ。直交座標から一般化座標への変換が時刻を含まない（拘束が時間によらない）なら、$T$ はこの形になる。

変換が時刻を含むと、$T$ に速度の1次の項と0次の項が入り、$\sum p\dot q=2T$ が成り立たなくなる。たとえば一定の角速度で回される枠の上で測った座標を使うと、$H$ は $T+V$ と違う関数になる。その $H$ が時刻を含まなければ $H$ は保存するが、$T+V$ は保存しない（枠を回し続ける外部の装置が系に仕事をするため）。

回る枠の上で時刻によらないポテンシャルの中を動く粒子（天体力学の制限三体問題で、一定の角速度で回る2天体の重力を受ける小天体）がその例である。枠の角速度を $\Omega$ とする。慣性系で測ったエネルギーと角運動量を $E$ と $L_z$ と書くと、Hamiltonian は

$$H=E-\Omega L_z$$

になる。$E$ も $L_z$ も別々には保存しないが、この組み合わせは保存し、Jacobi 積分と呼ばれる。

章末の総合問題で、回転する輪にはめたビーズを使ってこれを確かめる。逆に、$H=T+V$ であっても、ポテンシャルが時刻を含めば $H$ は保存しない。$H$ が保存するかどうかと $H$ がエネルギーに等しいかどうかは、別の条件で決まる。

加速する台から測った座標では、回る枠と逆向きの食い違いが起こる。直線上の自由な粒子を、一定の加速度 $a$ で動く台から測った座標 $q$ で書く（第1部第2章の例と同じ座標）。このとき

$$\begin{gathered} x=q+\frac12at^2,\qquad L=\frac m2(\dot q+at)^2,\\ p=m(\dot q+at)=m\dot x,\qquad H=p\dot q-L=\frac{p^2}{2m}-at\,p \end{gathered}$$

で、Hamiltonian は時刻を陽に含む。

この Hamiltonian は座標を含まないので、運動量 $p$ は保存する。一方で式 (1.8.14) から $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\partial H/\partial t=-ap$ で、$H$ は時刻に比例して変わる。慣性系で測ったエネルギー $\frac12m\dot x^2=p^2/(2m)$ は一定のままなので、$H$ の変化は台の座標を選んだことから来ている。回る枠では Hamiltonian が保存して $T+V$ が保存せず、加速する台ではエネルギーが保存して Hamiltonian が保存しないので、2つの例で保存する量が入れ替わる。

循環座標

$H$ がある座標 $q_k$ を含まないとき、$q_k$ を循環座標と呼ぶ。Hamilton 方程式から $\dot p_k=-\partial H/\partial q_k=0$ なので、$p_k$ は保存する。保存する $p_k$ の値を定数 $c_k$ として $H$ に入れると、$H$ は残りの $f-1$ 個の座標と運動量、そして定数 $c_k$ の関数になる。残りの $2(f-1)$ 本の方程式は $q_k$ を含まないので、それだけで解くことができ、$q_k$ は最後に $\dot q_k=\partial H/\partial c_k$ を積分して求める。Lagrangian の形では、循環座標 $q_k$ が $L$ に入らなくても速度 $\dot q_k$ は $L$ に残るので、このように1変数を定数に置き換えることはできない。Hamilton の形では、循環座標に共役な運動量がそのまま定数になり、問題の自由度が1つ減る。

中心力の問題がその例である。例題 1.8.1 の $H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\theta^2}{2mr^2}+V(r)$ は $\theta$ を含まないので $p_\theta$ が保存し、動径方向の運動は自由度1の Hamiltonian

$$H_r(r,p_r)=\frac{p_r^2}{2m}+U_{\mathrm{eff}}(r),\qquad U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{p_\theta^2}{2mr^2}+V(r)\tag{1.8.16}$$

で決まる。$U_{\mathrm{eff}}$ を有効ポテンシャルと呼ぶ。第1項は、$p_\theta$ を一定に保ったまま $r$ を変えると回転の運動エネルギーが変わることを表し、例題 1.8.1 (3) の遠心力はこの項の $-\partial/\partial r$ である。動径の運動が求まれば、角度は $\dot\theta=\partial H/\partial p_\theta=p_\theta/(mr^2)$ を積分して求める。

循環座標が見えるかどうかは座標の選び方で決まるが、量が保存するという事実は座標によらない。同じ中心力の問題をデカルト座標で書くと

$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+V\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$$

で、この式は2つの座標のどちらも含むので、循環座標は1つも無い。それでも $L_z=xp_y-yp_x$ は運動の間一定で、これは極座標の $p_\theta$ と同じ量である。保存量は座標を取り替えても保存量のままだが、それが運動量の1成分として表に出るのは、保存量に合わせて座標を選んだときだけである。

保存量（対称性）に合わせて循環座標を作る手順は、第1部第10章で Noether の定理と合わせて扱う。詳しくは基礎理論『物理のための微分幾何入門』第13章 §13.5（流れの箱と循環座標）で扱う。