「解けない」とはどういうことか

2026年10月9日6分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2章解けない方程式を調べる方法（定性的理論の基礎）

閉じた式で書けないことと、解が存在しないこと
Hadamard の適切性
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

近似の数理　第2章 §2.1　★★ 「閉じた式で書けない」と「解が無い」を区別し、問うべきことを Hadamard の3条件に整理する

物理に現れる微分方程式のほとんどは、閉じた式では解けない。それでも「解は存在するか」「一意か」「初期値を少し変えると解はどれだけ変わるか」「時間がたつとどうなるか」には答えられることが多い。この章では、解を書き下さずに解の性質を調べるための道具を、関数解析を未習の読者に向けて原理から用意する。後の章で近似（Galerkin、平均場極限、均質化など）を正当化するとき、使われるのはほぼすべてこの章の道具である。

閉じた式で書けないことと、解が存在しないこと

「この方程式は解けない」という言い方には、意味の違う二つの主張が混ざっている。一つは、解を有限個の初等関数と積分の組み合わせ（求積）で書けないという主張である。もう一つは、そもそも条件を満たす関数が存在しないという主張である。前者は表現の問題、後者は存在の問題で、両者はまったく別物である。

前者の典型は Riccati 方程式 $y'=x^2+y^2$ で、Liouville はこれが求積では解けないことを示した。それでもこの方程式の解は存在し、実際には Bessel 関数を使って書ける。「閉じた式」の範囲をどこまで広げるかで、解けるかどうかの判定は変わる。三体問題も同じで、一般の初期条件に対して軌道を既知の関数で書く方法は無いが、衝突が起きない間は解が存在して一意であることは、次節の Picard–Lindelöf の定理から直ちに従う。

物理の近似について考えるとき、問題にすべきは後者の側である。近似解が「真の解」に近いと言うには、まず真の解が存在して意味をもっていなければならない。真の解が存在しない（あるいは一意でない）方程式を近似しても、近似解が何に近いのかが定まらない。

定性的理論という発想

Poincaré は天体力学（三体問題）の研究の中で、解を式で書くことを諦め、解の集合の幾何学的な性質（周期軌道があるか、軌道が有界か、どこへ近づくか）を直接調べる方法を始めた。これが微分方程式の定性的理論である。「解を書かずに性質を調べる」というこの発想は、この巻全体の基調でもある。物理の近似を数学から意味づけるとは、多くの場合、真の解を書かないまま「近似解と真の解の距離が小さい」ことを示すことだからである。

Hadamard の適切性

定義 2.1（適切性）

微分方程式の問題（初期値問題や境界値問題）が適切（well-posed）であるとは、次の3条件がすべて成り立つことをいう。

存在：与えられたデータ（初期値、境界値、外力など）に対して解が存在する。
一意性：解はただ一つである。
データへの連続依存：データを少し変えると、解も少ししか変わらない。

どれか一つでも破れる問題を非適切（ill-posed）という。

3条件の意味は物理の側から読むとわかりやすい。存在と一意性が無ければ「この初期状態からの時間発展」という言葉が意味をもたない。第3の連続依存が無ければ、測定誤差や丸め誤差を含むデータから計算した解は、真の解と何の関係も無くなる。物理で使う方程式が「正しい」と言えるのは、この3条件を満たすときに限られる。注意すべき点として、第3条件の「少し」は何で測るか（どのノルムか）を指定して初めて意味をもつ。この「何で測るか」が第2.5節以降の主題になる。

Hadamard の例：連続依存の破れ

平面の上半分 $y>0$ で Laplace 方程式 $u_{xx}+u_{yy}=0$ を考え、 $y=0$ で $u$ と $u_y$ の両方を与える（Cauchy 問題）。データ $u(x,0)=0$ 、 $u_y(x,0)=\sin(nx)/n$ に対する解は

$u_n(x,y)=\frac{\sinh(ny)\sin(nx)}{n^2}$

である。 $n\to\infty$ でデータは一様に $0$ へ近づく（振幅 $1/n$ ）のに、 $y=1$ での解の振幅は $\sinh(n)/n^2$ で指数関数的に大きくなる。 $n=10$ でデータの振幅は $0.1$ 、 $y=1$ での振幅は約 $110$ である（検算スクリプト）。データ $0$ に対する解は $u=0$ なので、データがいくら $0$ に近くても解は $0$ に近くない。存在も一意性も成り立つが、連続依存が破れている。

同じ型の破れは、時間を逆向きに解く熱方程式（拡散を巻き戻す問題）でも起こる。高い波数の成分ほど速く減衰する方程式を逆に解けば、高い波数の成分ほど速く増幅されるからである。物理の「逆問題」（観測から原因を推定する問題）が難しいのは、多くがこの意味で非適切だからである。

例題 2.1　時間を巻き戻す熱方程式の非適切性 ★★

オリジナル区間 $(0,\pi)$ の熱方程式 $u_t=u_{xx}$ 、境界条件 $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ を考える。

初期値 $u(x,0)=\sin(nx)/n$ に対する解を求め、時刻 $T>0$ での振幅が初期値の振幅以下であることを示せ。
逆に、時刻 $T$ での値 $u(x,T)=\sin(nx)/n$ が与えられたとき、時刻 $0$ での値を求めよ。 $T=0.1$ 、 $n=10$ のときの時刻 $0$ での振幅を数値で答えよ。
時刻 $T=0.1$ の観測値の各正弦係数に、大きさ $10^{-3}$ までの誤差が含まれているとする。時刻 $0$ へ巻き戻したときに第 $n$ 成分の誤差が $1$ 以下に収まる最大の $n$ を求め、この問題が Hadamard の意味で非適切であることと結びつけて説明せよ。

解答

(1) $u=\mathrm{e}^{-n^2t}\sin(nx)/n$ とおくと $u_t=-n^2u$ 、 $u_{xx}=-n^2u$ で方程式を満たし、 $x=0,\pi$ で $0$ になる。時刻 $T$ での振幅は $\mathrm{e}^{-n^2T}/n\le1/n$ で、初期値の振幅以下である。一般の初期値は正弦級数 $\sum_nb_n\sin(nx)$ に展開でき、各係数が時刻 $T$ までに $\mathrm{e}^{-n^2T}\le1$ 倍されるだけなので、Parseval の等式から $\lVert u(\cdot,T)\rVert \le\lVert u(\cdot,0)\rVert$ である。前向きの問題では、初期値の誤差は時間とともに大きくならない（第2.5節のエネルギー法と同じ結論である）。

(2) 時刻 $0$ の値を $c\sin(nx)$ とすると、(1) により時刻 $T$ の値は $c\,\mathrm{e}^{-n^2T}\sin(nx)$ なので、 $c=\mathrm{e}^{n^2T}/n$ 、すなわち $u(x,0)=\mathrm{e}^{n^2T}\sin(nx)/n$ である。 $T=0.1$ 、 $n=10$ では振幅は $\mathrm{e}^{10}/10\approx2202.6$ で、時刻 $T$ でのデータの振幅 $0.1$ の約 $2.2\times10^4$ 倍になる（検算スクリプト）。

(3) 問題は線形なので、時刻 $T$ の第 $n$ 係数の誤差 $\delta=10^{-3}$ は、時刻 $0$ では $\mathrm{e}^{n^2T}\delta$ になる。 $\mathrm{e}^{0.1n^2}\times10^{-3}\le1$ は $n^2\le10\ln1000\approx69.1$ と同値なので、最大の $n$ は $8$ である。実際 $n=8$ では誤差は約 $0.60$ 、 $n=9$ では約 $3.3$ になる。増幅率 $\mathrm{e}^{n^2T}$ には上限が無いので、データの誤差をどれほど小さくしても、それを何倍にも増幅する高い波数の成分が必ずある。データへの連続依存が破れているのである。さらに、時刻 $T$ のデータの係数が $\mathrm{e}^{-n^2T}$ より速く減っていなければ巻き戻した級数は収束しないので、存在も一般には成り立たない。観測から復元できるのは低い波数の成分だけで、実際の逆問題では高い波数を切り捨てる（正則化する）ことで問題を適切なものに作り替えて扱う。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

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