この章のまとめ

(1) $K=6$ から $10$ までの4段で誤差が $2.13\times10^{-10}/2.80\times10^{-7}=7.60\times10^{-4}$ 倍になったので、$r=(7.60\times10^{-4})^{1/4}=0.166$。基底を1つ足すごとに誤差がおよそ6分の1になる。

(2) $K=14$ では $2.13\times10^{-10}\times r^4=1.6\times10^{-13}$ と予測される。表の値は $2.2\times10^{-13}$ で、桁まで合う（検算スクリプト）。比 $r$ がほぼ一定に保たれることが、指数的な収束の中身である。この比がどう決まるかは解の滑らかさの問題で、第4章で扱う。

(3) 摂動級数の誤差は表で $1.6\times10^{-2}$、$1.0\times10^{-2}$、$1.0\times10^{-2}$、$1.4\times10^{-2}$ と変わり、隣り合う比は 1 より小さい値から 1 より大きい値へ移っていく。漸近級数では比 $\lvert c_{k+1}\rvert \lambda/\lvert c_k\rvert$ が $k$ とともに増え続けるので、一定の比で外挿する前提そのものが成り立たない。

(1) $\frac{x^2}{2}+gx^2=\frac12(1+2g)x^2$ なので、角振動数 $\omega=\sqrt{1+2g}$ の調和振動子である。基底エネルギーは

$$E(g)=\frac12\sqrt{1+2g}.$$

(2) $\tilde E_1(g)=\langle \phi_0 | H_g | \phi_0 \rangle =\frac12+g\langle \phi_0 | x^2 | \phi_0 \rangle =\frac12+\frac g2$。$1+2g>0$ のとき $(1+g)^2=1+2g+g^2\ge 1+2g$ で、$1+g>0$ なので $1+g\ge\sqrt{1+2g}$、すなわち $\tilde E_1(g)\ge E(g)$。等号は $g=0$ のときだけである。$g=0.1$ では $\tilde E_1=0.55$、$E=0.5477226$ で、誤差は $+2.3\times10^{-3}$。$\tilde E_1$ は1次摂動の値と一致しており、本文の非調和振動子で $K=1$ の Ritz と1次摂動が一致したのと同じことが起きている。

(3) $\langle x^2 \rangle =s$、$\langle p^2 \rangle =1/(4s)$ より

$$E_{\mathrm G}(s)=\frac{1}{8s}+\frac{1+2g}{2}s .$$

$s$ で微分して 0 とおくと $s^2=\dfrac{1}{4(1+2g)}$、$s=\dfrac{1}{2\sqrt{1+2g}}$ で、そのとき $E_{\mathrm G}=\dfrac{\sqrt{1+2g}}{4}+\dfrac{\sqrt{1+2g}}{4}=\dfrac12\sqrt{1+2g}=E(g)$。$H_g$ の基底状態は幅の違うガウス関数なので、ガウス関数の集合が厳密解を含み、曲がった集合への制限でも厳密になる。非調和振動子では基底状態がガウス形からずれているので、ガウス関数の集合の中にいる限り誤差 $1.2\times10^{-3}$ が残った。曲がった集合への制限が厳密になるかどうかは、真の解がその集合に入っているかどうかだけで決まる。

(4) 二項展開 $\sqrt{1+2g}=\sum_k\binom{1/2}{k}(2g)^k$ から

$$E(g)=\frac12+\frac12 g-\frac14 g^2+\frac14 g^3-\frac{5}{16}g^4+\frac{7}{16}g^5+\cdots .$$

$\sqrt{1+z}$ の級数は $\lvert z\rvert <1$ で収束し $\lvert z\rvert >1$ で発散するので、$z=2g$ について収束半径は $\tfrac12$ である。$g=0.1$ では2次までの部分和が $0.5+0.05-0.0025=0.5475$ で、厳密値 $0.5477226$ との差は $-2.2\times10^{-4}$。$g=1$ では部分和が $0.5,\ 1,\ 0.75,\ 1,\ 0.6875,\ 1.125,\dots$ と振れ幅を広げながら振動し、厳密値 $0.8660254$ に近づかない（検算スクリプト）。

(5) $g=-\tfrac12$ では $x^2$ の係数 $\tfrac12(1+2g)$ が 0 になり、$g<-\tfrac12$ ではポテンシャルが下に開いて $H_g$ に基底状態が無くなる。$E(g)$ は $g=-\tfrac12$ で $\sqrt{\ }$ の分岐点をもち、複素 $g$ 平面で原点からこの特異点までの距離 $\tfrac12$ が収束半径になる。この問題では $g$ が正でも、$\lvert g\rvert >\tfrac12$ なら級数は使えない。B 型の近似がどこまで使えるかは、物理的に意味のある $g>0$ の側だけでなく、パラメータを複素数まで広げたときの特異点の位置で決まる。非調和振動子では $\lambda<0$ にするとどんなに小さくても $\lambda x^4$ が十分大きな $\lvert x\rvert$ で $x^2/2$ に勝ってポテンシャルが下に開くので、特異点が原点に集まり、収束半径が 0 になる。漸近級数として小さい $\lambda$ でしか使えないという本文の結果は、この見方から理解できる。