例題

(1) $\lvert \psi_s\rvert ^2=(2\pi s)^{-1/2}\mathrm{e}^{-x^2/2s}$ は分散 $s$ の正規分布の密度なので、$\langle x^2 \rangle =s$、4次モーメントは $3s^2$ である。運動エネルギーは部分積分で $\langle p^2 \rangle =\int\lvert \psi_s'\rvert ^2\mathrm{d} x$ となり、$\psi_s'=-(x/2s)\psi_s$ より $\langle p^2 \rangle =\langle x^2 \rangle /(4s^2)=1/(4s)$。

(2) $E_{\mathrm G}(s)=1/(8s)+s/2$ を $s$ で微分して 0 とおくと $-1/(8s^2)+1/2=0$、$s=1/2$。このとき $E_{\mathrm G}=1/4+1/4=1/2$。$\psi_{1/2}$ は調和振動子の基底状態そのものなので、試行関数の集合が厳密解を含み、変分の結果は厳密になる。

(3) $s=\frac12+\delta$ とおくと、$\lambda=0$ での最小点が $s=1/2$ なので $\delta=\mathcal{O}(\lambda)$ である。$E_{\mathrm G}(s)=E_{\mathrm G}^{(0)}(s)+3\lambda s^2$ で、$E_{\mathrm G}^{(0)}$ は $s=1/2$ で停留しているから $E_{\mathrm G}^{(0)}(\tfrac12+\delta)=\tfrac12+\mathcal{O}(\delta^2)=\tfrac12+\mathcal{O}(\lambda^2)$。第2項は $3\lambda(\tfrac12)^2+\mathcal{O}(\lambda\delta)=\tfrac34\lambda+\mathcal{O}(\lambda^2)$。よって $\min E_{\mathrm G}=\tfrac12+\tfrac34\lambda+\mathcal{O}(\lambda^2)$ で、1次摂動 $\langle \phi_0 | \lambda x^4 | \phi_0 \rangle =3\lambda/4$ と一致する。2次の係数は一致しない。同じ計算を2次まで進めると $\delta=-\tfrac32\lambda$、$\min E_{\mathrm G}=\tfrac12+\tfrac34\lambda-\tfrac94\lambda^2+\mathcal{O}(\lambda^3)$ となり、厳密な係数 $-\tfrac{21}{8}$ に届かない（検算スクリプト）。試行関数がガウス形に縛られているので、基底状態の形の歪み（$x^4$ 成分の混入）を表せないためである。

(1) 隣り合う項の比は $\lvert c_{k+1}\lambda^{k+1}\rvert /\lvert c_k\lambda^k\rvert =(k+1)\lambda$。これが 1 より小さい間は項が減り、$k+1>1/\lambda$ で増え始める。よって $k\approx 1/\lambda$ で最小になる。

(2) $k=1/\lambda$ とおくと、Stirling の公式 $k!\approx\sqrt{2\pi k}\,(k/\mathrm{e})^k$ より

$$k!\,\lambda^k\approx\sqrt{2\pi k}\Bigl(\frac{k\lambda}{\mathrm{e}}\Bigr)^k=\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}\,\mathrm{e}^{-1/\lambda}.$$

交代級数では、最小の項で打ち切ったときの誤差はその項と同程度なので、誤差は $\mathrm{e}^{-1/\lambda}$ 程度になる。$\lambda\to 0$ ではどんなべき $\lambda^n$ よりも速く 0 に近づくが、$\lambda$ を固定すると $\mathrm{e}^{-1/\lambda}$ より小さくはできない。非調和振動子の係数は $3^k\Gamma(k+\tfrac12)$ 程度で増えるので、同じ議論で $k\approx 1/(3\lambda)$ が最適な次数になり、$\lambda=0.1$ では $k\approx 3$ となる。これは表1.1で誤差が最小になる次数（2〜3次）と合う。

(1) A 型（線型部分空間への射影）。試行関数は2次元の線型部分空間 $\operatorname{span}\{\phi_A,\phi_B\}$ に制限され、変分原理（第3章の min-max 原理）により得られるエネルギーは真の基底エネルギーの上界になる。部分空間を広げれば（軌道指数を最適化する、2p 軌道を足すなど）単調に改善する。誤差は「その部分空間で真の波動関数をどこまで表せるか」で抑えられる（第4章）。

(2) B 型（極限）。小さいパラメータは「地球の半径と扁平率に起因する重力の非球対称成分」÷「中心の質点の重力」で、軌道半径を $r$、地球の半径を $R$ とすると四重極の補正は $J_2(R/r)^2$ 程度（$J_2\approx 10^{-3}$）である。誤差はこのパラメータの大きさで抑えられ、低軌道で長時間積分すると補正が累積して効果が現れる（極限の近似が、長時間では破れる例）。

(3) C 型（閉じる）。平均化した Navier–Stokes 方程式には Reynolds 応力という未知量が現れ、それを平均流の量で表す式を仮定することで方程式を閉じている。この仮定を正当化する小さいパラメータは無く、誤差を抑える定理も無い（第9章）。