出てくるもの (3)：相空間の流れは面積を保つ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.5　★★ Hamilton 方程式の速度場は発散が $0$ で、流れは相空間の面積を変えない。数値積分はこの性質を守る方法を選ぶ

発散が $0$ の速度場

相空間の点の集まり（たとえば初期値に幅を持たせた点の集合）を流れに沿って動かすと、集まりの形は変わる。その面積（自由度 $f$ なら $2f$ 次元の体積）がどう変わるかは、速度場 (1.8.9) の発散で決まる。発散を計算すると

$$\sum_i\Bigl(\frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i}+\frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i}\Bigr)=\sum_i\Bigl(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}-\frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Bigr)=0\tag{1.8.17}$$

となる。2階の偏微分の順序を入れ替えても値が変わらないので、各項が打ち消し合う。流体の言葉では、発散が $0$ の速度場は湧き出しも吸い込みもない流れで、流れに乗って動く領域の体積は変わらない。したがって Hamilton 方程式の流れは相空間の体積を保つ。これが Liouville の定理で、証明の詳細と確率分布の時間発展への応用は第3部第1章で扱う（第3部第1章）。

小さな時間 $\Delta t$ の間の流れで確かめる。自由度1で、点 $(q,p)$ が $(q+\Delta t\,\partial H/\partial p,\ p-\Delta t\,\partial H/\partial q)$ に移るとすると、この写像の Jacobi 行列式は

$$\det\begin{pmatrix}1+\Delta t\,H_{qp}&\Delta t\,H_{pp}\\-\Delta t\,H_{qq}&1-\Delta t\,H_{pq}\end{pmatrix} =1+\Delta t^2\bigl(H_{qq}H_{pp}-H_{qp}^2\bigr)$$

で（$H_{qp}=\partial^2H/\partial q\partial p$ などと略記）、$\Delta t$ の1次の項が消える。面積の変化率は $\Delta t\to0$ で $0$ になる。

減衰振動子 $m\ddot q=-m\omega^2q-m\gamma\dot q$ は Hamilton 方程式の形に書けない。$(q,p=m\dot q)$ で書いた速度場 $(p/m,\ -m\omega^2q-\gamma p)$ の発散は $-\gamma$ で、相空間の面積は $\mathrm{e}^{-\gamma t}$ で縮み、点の集まりは原点へ集まる。Hamilton 方程式の平衡点に漸近安定な点が現れないこと（1.8.3節）は、面積が縮まないことから従う。

数値積分と面積

Hamilton 方程式を計算機で解くとき、時間を刻み $\Delta t$ で区切って1歩ずつ進める。調和振動子 $H=\frac12p^2+\frac12\omega^2q^2$（$m=1$）で2つの方法を比べる。前進 Euler 法は、今の値で右辺を計算して両方を同時に進める：

$$q_{n+1}=q_n+\Delta t\,p_n,\qquad p_{n+1}=p_n-\Delta t\,\omega^2q_n .\tag{1.8.18}$$

シンプレクティック Euler 法は、先に $p$ を進め、進めた $p$ で $q$ を進める：

$$p_{n+1}=p_n-\Delta t\,\omega^2q_n,\qquad q_{n+1}=q_n+\Delta t\,p_{n+1} .\tag{1.8.19}$$

どちらも1歩の誤差は $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ で、短い時間なら同じ精度である。違いは1歩の写像の行列式に現れる。前進 Euler 法の行列 $\begin{pmatrix}1&\Delta t\\-\Delta t\,\omega^2&1\end{pmatrix}$ の行列式は $1+\omega^2\Delta t^2>1$ で、1歩ごとに面積が増える。シンプレクティック Euler 法の行列 $\begin{pmatrix}1-\omega^2\Delta t^2&\Delta t\\-\Delta t\,\omega^2&1\end{pmatrix}$ の行列式は $1$ で、面積が厳密に保たれる。

前進 Euler 法では、エネルギー $E=\frac12p^2+\frac12\omega^2q^2$ が1歩ごとに正確に $1+\omega^2\Delta t^2$ 倍になる（下の例題）。シンプレクティック Euler 法では $E$ は保存しないが、少し変形した2次式 $\tilde E=\frac12p^2+\frac12\omega^2q^2-\frac12\omega^2\Delta t\,qp$ が厳密に保存し、$E$ は $\tilde E$ のまわりで振動するだけで増え続けない。面積を保つ1歩の写像をシンプレクティックな写像と呼び、こうした積分法は、惑星の軌道や分子動力学のように長い時間にわたる計算で使われる。時間発展そのものが面積を保つ写像の連続であるという見方は、第1部第12章の正準変換で一般の形にする（第1部第12章）。