授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第8章 §1.8.6　★★ Newton の方程式を「位置と速度」の1階の連立方程式に直す書き方と、エネルギー積分の導き方は、Hamilton 方程式と $\mathrm{d} H/\mathrm{d} t=\partial H/\partial t$ の特別な場合

1階の連立方程式とエネルギー積分

力学の授業では、1次元の運動方程式 $m\ddot x=F(x)=-V'(x)$ を、速度 $v=\dot x$ を新しい未知関数として

$$\dot x=v,\qquad m\dot v=-V'(x)\tag{1.8.20}$$

と1階の連立方程式に直すことが多い。微分方程式の授業では、$(x,v)$ の平面を「相平面」と呼んで解曲線を描く。また、運動方程式の両辺に $\dot x$ を掛けて

$$m\dot x\ddot x+V'(x)\dot x=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac12m\dot x^2+V(x)\Bigr)=0\tag{1.8.21}$$

とし、力学的エネルギーの保存を出す（エネルギー積分）。

この章の形と並べると、次の対応になる。

直交座標の粒子では $p=mv$ なので、2つの形は質量を掛ける違いしかない。エネルギー積分で $\dot x$ を掛ける操作は、式 (1.8.14) の連鎖律の計算を具体的な $H$ について行ったものにあたる。一般化座標の運動量が速度に比例しないときは、2つの形が別物になる。極座標の $p_\theta=mr^2\dot\theta$ は角速度に $r$ に依存する係数が掛かったもので、電磁場の中では $p=m\bm{v}+q\bm{A}$ になる（第2部第2章）。「$\dot x$ を掛ける」操作は、一般の座標では何を掛ければよいかが分からないが、式 (1.8.14) はどの座標でも同じ計算で済む。

相平面 $(x,v)$ と相空間 $(q,p)$ の違いは、面積を保つかどうかに現れる。次の例題で、質量が位置によって変わる系を使って確かめる。量子力学で $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\partial/\partial q$ に置き換える量も、速度でなく正準運動量である。Schrödinger 方程式は Hamiltonian $\hat H(\hat q,\hat p)$ から作られる（第4部第2章）。