この章のまとめ

(1) 輪とともに回る角度は $\omega t$ なので、ビーズの位置は $\bm{r}=\bigl(R\sin\theta\cos\omega t,\ R\sin\theta\sin\omega t,\ -R\cos\theta\bigr)$。位置が $t$ をあらわに含むことが、時間によって動く拘束を表している。微分して $\lvert \dot{\bm{r}}\rvert ^2=R^2\dot\theta^2+R^2\omega^2\sin^2\theta$、高さは $-R\cos\theta$ なので

$$L=\frac12mR^2\bigl(\dot\theta^2+\omega^2\sin^2\theta\bigr)+mgR\cos\theta .$$

(2) $p=\partial L/\partial\dot\theta=mR^2\dot\theta$、$\dot\theta=p/(mR^2)$ を入れて

$$H=p\dot\theta-L=\frac{p^2}{2mR^2}-\frac12mR^2\omega^2\sin^2\theta-mgR\cos\theta .$$

一方、力学的エネルギーは $E=T+V=\frac12mR^2(\dot\theta^2+\omega^2\sin^2\theta)-mgR\cos\theta$ で、$E-H=mR^2\omega^2\sin^2\theta$ だけ違う。$T$ が速度の2次の同次式でなく、速度を含まない項 $\frac12mR^2\omega^2\sin^2\theta$ を持つので、式 (1.8.15) が成り立たない。

(3) $\dot\theta=\dfrac{p}{mR^2}$, $\dot p=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=mR^2\omega^2\sin\theta\cos\theta-mgR\sin\theta=mR\sin\theta\,(R\omega^2\cos\theta-g)$。平衡点は $p=0$ で、$\sin\theta=0$（$\theta=0$, $\pi$）か $\cos\theta=g/(R\omega^2)$。後者が $0<\theta<\pi$ に解 $\theta_*$ を持つ条件は $g/(R\omega^2)<1$、すなわち $\omega^2>g/R$ である。$\theta=\pm\theta_*$ の2点がこれにあたる。

(4) (3) の2式から $p$ を消すと $\ddot\theta=\sin\theta\,(\omega^2\cos\theta-g/R)$ で、第2章の総合問題 (5) の式そのものである。平衡点のまわりの1次の展開もそこで済んでおり、$\theta=0$ では指数 $\lambda=\sqrt{\omega^2-g/R}$（$\omega^2>g/R$ のとき不安定）、$\theta_*$ では角振動数 $\Omega_*=\omega\sin\theta_*$ である。同じ数値なので、第2章の値 $\theta_*=60.6^\circ$、$\Omega_*=8.71\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ がそのまま使え、$\lambda=\sqrt{100-49.05}=7.14\,\mathrm s^{-1}$ である。最下点は不安定な平衡点になっている。

(5) $H$ は $t$ をあらわに含まないので、式 (1.8.14) から $\mathrm{d} H/\mathrm{d} t=0$。$E=H+mR^2\omega^2\sin^2\theta$ なので

$$\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=2mR^2\omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta\neq0\qquad(\dot\theta\neq0,\ \sin2\theta\neq0).$$

装置は輪を角速度 $\omega$ で回し続けるため、鉛直軸のまわりのトルク $N$ をビーズに与える。ビーズの鉛直軸のまわりの角運動量は $L_z=mR^2\sin^2\theta\,\omega$ なので$N=\mathrm{d} L_z/\mathrm{d} t=2mR^2\omega\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta$、仕事率は $N\omega=2mR^2\omega^2\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta$ で、$\mathrm{d} E/\mathrm{d} t$ と一致する。$H$ は保存し、$E$ は装置からの仕事の分だけ変わる。

(6) $H(0,0)=-mgR$。$\cos\theta_*=g/(R\omega^2)$ を使うと

$$H(\theta_*,0)=-\frac12mR^2\omega^2\Bigl(1-\frac{g^2}{R^2\omega^4}\Bigr)-mgR\frac{g}{R\omega^2}=-\frac12mR^2\omega^2-\frac{mg^2}{2\omega^2}$$

なので、差は

$$H(0,0)-H(\theta_*,0)=\frac m2\Bigl(R\omega-\frac g\omega\Bigr)^2 .$$

数値では $R\omega=2.00\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, $g/\omega=0.981\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ で、$m$ あたり $\frac12(1.019)^2=0.519\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$。$H$ は保存するので、$H<H(0,0)$ で始まった軌道は $H$ の等高線の上を動き、$H\ge H(0,0)$ の点を通れない。$\theta=0$ を通る点はすべて $H=\frac{p^2}{2mR^2}-mgR\ge H(0,0)$ を満たすので、ビーズは $\theta=0$ を越えられず、$\theta_*$ のまわりの往復運動を続ける。$\theta=0$ は振り子の最上点と同じ鞍点の役をしており、$H=H(0,0)$ の等高線がセパラトリクスになっている。