無限小変換：ほんの少しだけずらす

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第9章 §1.9.1　★★★ 連続的な変換の族をパラメータで微分すると、各点を動かす向き $K(q)$ が残る

回転・並進・時間発展は、物理のあらゆる場面に出てくる変換である。学部の授業では、回転は行列 $\left(\begin{smallmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{smallmatrix}\right)$ で、並進は $x\to x+a$ で、時間発展は運動方程式の解として、それぞれ別々の道具で扱われる。この章では、これら3つを同じ1つの形で書く。そのために使うのは、変換を「ほんの少しだけ」行ったときの1次の変化、つまり無限小変換だけを取り出すことである。連続的に変えられる変換は、無限小変換を何度も重ねれば有限の変換に戻せるので、無限小変換が分かれば変換全体が分かる。

相空間（$q$ と $p$ の空間。第1部第8章）の上の無限小変換のうち、Hamilton 方程式と相性のよいものは、すべて1つの関数 $G(q,p)$ を使って

$$\delta q_i=\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_i},\qquad \delta p_i=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}$$

と書くことができる。この $G$ を変換の生成子と呼ぶ。並進の生成子は運動量 $p$、回転の生成子は角運動量 $L_z$、時間発展の生成子は Hamiltonian $H$ である。時間発展の場合に上の式が Hamilton 方程式そのものになることが、この形を選ぶ理由の1つになる。

この章の道具は6つの節に分かれる。1.9.1節で無限小変換を定義し、1.9.2節で無限小変換から有限の変換を組み立てる。1.9.3節で相空間の無限小変換に生成子があることを示し、1.9.4節で並進・回転・時間発展を1つの表に並べる。1.9.5節で量子力学の同じ形（$\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}$）を見て、1.9.6節で授業で習った形と対応させる。生成子が保存量になること（Noether の定理）は1.9.4節で一言だけ予告し、本体は次の章（第1部第10章）で扱う。生成子どうしの括弧の計算規則（Poisson 括弧）は 第1部第11章、有限の変換としての正準変換と母関数は 第1部第12章で扱う。

パラメータで番号をつけた変換の族

平面の点 $(x,y)$ を原点のまわりに角 $\alpha$ だけ反時計回りに回す変換を $\Phi_\alpha$ と書く。

$$\Phi_\alpha(x,y)=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,\ x\sin\alpha+y\cos\alpha).\tag{1.9.1}$$

$\alpha$ は実数を連続的に動けるので、$\Phi_\alpha$ は1つの変換ではなく、実数 $\alpha$ で番号をつけた変換の族である。この族は2つの性質を持つ。1つは $\Phi_0$ が何も動かさない恒等変換であること、もう1つは角 $\beta$ 回してから角 $\alpha$ 回すと角 $\alpha+\beta$ 回したことになる、という合成の規則

$$\Phi_\alpha\circ\Phi_\beta=\Phi_{\alpha+\beta}\tag{1.9.2}$$

である。並進 $\Phi_\alpha(x)=x+\alpha$ もこの2つを満たす。

時間発展もこの形に入る。外から時間に依存する力がかからない系では、時刻 $0$ の状態を入れて時刻 $\alpha$ の状態を返す対応を $\Phi_\alpha$ とすると、$\Phi_0$ は恒等変換で、$\beta$ だけ時間を進めてからさらに $\alpha$ だけ進めると $\alpha+\beta$ だけ進めたことになるので、式 (1.9.2) が成り立つ。この章では、恒等変換から始まり式 (1.9.2) を満たす変換の族を1径数変換群と呼ぶ。「1径数」はパラメータが1つの実数であること、「群」は合成の規則 (1.9.2) で閉じていることを指す。

1次の変化だけを取り出す

$\Phi_\alpha$ を $\alpha=0$ のまわりで展開すると、$\Phi_0$ が恒等変換なので

$$\Phi_\epsilon(q)=q+\epsilon K(q)+\mathcal{O}(\epsilon^2),\qquad K(q)\coloneqq\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha}\Phi_\alpha(q)\Big|_{\alpha=0}$$

となる。ここで $q=(q_1,\dots,q_f)$ は変換を受ける点の座標、$K=(K_1,\dots,K_f)$ は各点に1本ずつ付いたベクトルで、その点を「どちら向きにどれだけの速さで動かすか」を表す。

式 (1.9.3) の $\delta$ は、第1部第3章の変分と同じく「$\epsilon$ で微分して $\epsilon$ を掛けたもの」で、$\mathcal{O}(\epsilon^2)$ の項を捨てた近似ではない。$\delta q=\epsilon K$ は「$\epsilon$ が小さいときの差 $\Phi_\epsilon(q)-q$」と1次で一致するが、定義そのものは $\alpha=0$ での微分である。第3章の変分との違いは、変分 $\delta q(t)=\epsilon\eta(t)$ では経路の各時刻を好きな向き $\eta(t)$ にずらしたのに対して、無限小変換では点の位置 $q$ だけで決まる規則 $K(q)$ に従って全部の点を一斉にずらすことにある。

回転 (1.9.1) では、$\cos\alpha=1+\mathcal{O}(\alpha^2)$, $\sin\alpha=\alpha+\mathcal{O}(\alpha^3)$ なので

$$\delta x=-\epsilon y,\qquad \delta y=\epsilon x,\qquad K(x,y)=(-y,\ x)\tag{1.9.4}$$

となる。向き $K$ は位置ベクトル $(x,y)$ に垂直で、長さは原点からの距離に比例する。原点を中心とする円に接する向きに、半径に比例する速さで動かすのが回転の無限小変換である。並進 $x\to x+\alpha$ では $K=1$ で、すべての点を同じ向きに同じ量だけ動かす。

無限小回転では、距離の2乗 $x^2+y^2$ の1次の変化は $2x\,\delta x+2y\,\delta y=2\epsilon(-xy+yx)=0$ である。回転が距離を変えないことは、無限小変換の段階で「1次の変化が $0$」という形で読み取ることができる。2次の項まで見ると $(x-\epsilon y)^2+(y+\epsilon x)^2=(1+\epsilon^2)(x^2+y^2)$ で、$x\to x-\epsilon y$, $y\to y+\epsilon x$ という1次式の写像そのものは距離をわずかに変える。この $\epsilon^2$ のずれを重ねると何が起こるかは次の節で調べる。