相空間の無限小変換と生成子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第9章 §1.9.3　★★★ 相空間の面積を保つ無限小変換は、1つの関数 $G$ の偏微分で $\delta q=\epsilon\,\partial G/\partial p$, $\delta p=-\epsilon\,\partial G/\partial q$ と書ける

なぜ相空間で考えるのか

第1部第8章で、力学の状態を一般化座標 $q$ と正準運動量 $p$ の組 $(q,p)$、つまり相空間の点で表し、時間発展を Hamilton 方程式

$$\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

で書いた。前の節の言葉では、時間発展は相空間の1径数変換群で、その向きは $K=(\partial H/\partial p,\ -\partial H/\partial q)$ である。回転や並進を時間発展と同じ形で扱うには、それらも相空間の変換として書けばよい。$q$ だけを動かす変換でも、$p$ がどう動くかを決めれば相空間の変換になる。

そこで、相空間の無限小変換

$$\delta q_i=\epsilon X_i(q,p),\qquad \delta p_i=\epsilon Y_i(q,p)\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.9.10}$$

を考える。向きは $2f$ 成分のベクトル $(X,Y)$ である。$(X,Y)$ は何でもよいわけではない。時間発展と組み合わせて使う変換には、時間発展が持っている性質を保ってほしい。その性質のうち最も見やすいのが、相空間の面積（体積）を変えないこと（Liouville の定理。第3部第1章）である。

自由度1：面積を保つ条件

自由度 $f=1$ で、相空間 $(q,p)$ の小さな長方形が無限小変換 (1.9.10) でどう変わるかを調べる。写像 $(q,p)\mapsto(q+\epsilon X,\ p+\epsilon Y)$ の Jacobi 行列式は

$$\det\begin{pmatrix}1+\epsilon\frac{\partial X}{\partial q}&\epsilon\frac{\partial X}{\partial p}\\ \epsilon\frac{\partial Y}{\partial q}&1+\epsilon\frac{\partial Y}{\partial p}\end{pmatrix}=1+\epsilon\Bigl(\frac{\partial X}{\partial q}+\frac{\partial Y}{\partial p}\Bigr)+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{1.9.11}$$

で、面積の1次の変化率は $\partial X/\partial q+\partial Y/\partial p$（向き $(X,Y)$ の発散）である。面積を1次で保つ条件は

$$\frac{\partial X}{\partial q}+\frac{\partial Y}{\partial p}=0\tag{1.9.12}$$

になる。前の節で見たように、1次で保てば有限の変換でも保たれる（1回の誤差 $\epsilon^2$ を $1/\epsilon$ 回重ねても $0$ に近づく）。

条件 (1.9.12) は、ある関数 $G(q,p)$ があって

$$X=\frac{\partial G}{\partial p},\qquad Y=-\frac{\partial G}{\partial q}\tag{1.9.13}$$

と書けることと同じである（相空間の領域に穴が無いとき）。式 (1.9.13) から条件 (1.9.12) が出ることは、$\partial^2G/\partial q\partial p-\partial^2G/\partial p\partial q=0$ から分かる。逆向きは、1形式 $-Y\,\mathrm{d} q+X\,\mathrm{d} p$ が条件 (1.9.12) のもとで閉じている（$\partial(-Y)/\partial p=\partial X/\partial q$）ので、穴の無い領域では全微分 $\mathrm{d} G$ に等しい、という Poincaré の補題による。流体力学の言葉では、$G$ は湧き出しの無い流れ $(X,Y)$ の流れ関数で、流れは $G$ の等高線に沿う。

自由度が2以上では、体積を保つだけでは足りない。Hamilton 方程式の形を保つ変換（正準変換。第1部第12章）であるためには、$(q_i,p_i)$ の組ごとの面積の和を保つという、より強い条件が要り、その無限小版がちょうど次の定義の形になる。この章ではこの結果を引用し、証明は第12章に回す。

$G=H$, $\epsilon=\mathrm{d} t$ とおくと、式 (1.9.14) は $\delta q_i=\dot q_i\,\mathrm{d} t$, $\delta p_i=\dot p_i\,\mathrm{d} t$ で、Hamilton 方程式そのものになる。時間発展は Hamiltonian が生成する変換である。

生成子による関数の変化

相空間の関数 $A(q,p)$ が、生成子 $G$ の無限小変換でどう変わるかを計算する。連鎖律で

$$\delta A=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial A}{\partial p_i}\delta p_i\Bigr)=\epsilon\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}\Bigr)\eqqcolon\epsilon\{A,G\}\tag{1.9.15}$$

となる。右端の $\{A,G\}$ は、この組み合わせを短く書くための記号で、Poisson 括弧と呼ばれる。$A=q_i$ とおけば $\{q_i,G\}=\partial G/\partial p_i$, $A=p_i$ とおけば $\{p_i,G\}=-\partial G/\partial q_i$ で、式 (1.9.14) は $\delta q_i=\epsilon\{q_i,G\}$, $\delta p_i=\epsilon\{p_i,G\}$ とも書くことができる。特に $\{q,p\}=1$ である。Poisson 括弧の計算規則（反対称性・Jacobi 恒等式）と、それが生成子どうしの関係をどう表すかは 第1部第11章で扱う。この章で使うのは、定義から直ちに分かる反対称性 $\{A,G\}=-\{G,A\}$ だけである。

点変換を相空間へ持ち上げる

回転や並進は、もともと座標 $q$ だけを動かす変換 $\delta q_i=\epsilon K_i(q)$（点変換）である。これに $p$ の動き方を付けて相空間の変換にする。正準運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ は速度 $\dot q_i$ と組になる量で、Legendre 変換 $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ の中に $\sum_ip_i\dot q_i$ の形で現れる（第1部第7章）。そこで、この組 $\sum_ip_i\dot q_i$ が変換で変わらないように $p$ の動き方を決める。経路 $q(t)$ を各時刻で $\delta q_i=\epsilon K_i(q(t))$ だけ動かすと、速度は連鎖律で $\delta\dot q_i=\epsilon\sum_j\frac{\partial K_i}{\partial q_j}\dot q_j$ だけ動くので、

$$\delta\Bigl(\sum_ip_i\dot q_i\Bigr)=\sum_j\delta p_j\,\dot q_j+\epsilon\sum_{i,j}p_i\frac{\partial K_i}{\partial q_j}\dot q_j .$$

これがすべての $\dot q$ について $0$ になるには

$$\delta p_j=-\epsilon\sum_{i=1}^fp_i\frac{\partial K_i}{\partial q_j}\tag{1.9.16}$$

でなければならない。この持ち上げた変換は、生成子

$$G(q,p)=\sum_{i=1}^fp_iK_i(q)\tag{1.9.17}$$

で生成される。実際、$\partial G/\partial p_i=K_i$ から $\delta q_i=\epsilon K_i$ が、$-\partial G/\partial q_j=-\sum_ip_i\,\partial K_i/\partial q_j$ から式 (1.9.16) が出る。点変換の生成子は「運動量と向きの内積」である。第1部第10章の Noether の定理で、$L$ を変えない点変換に付く保存量 $Q=\sum_ip_iK_i(q)$ が出てくるが、それは式 (1.9.17) の生成子と同じ式である。

平面の回転 $K=(-y,x)$ を持ち上げると、生成子は $G=p_x(-y)+p_yx=xp_y-yp_x$、すなわち角運動量の $z$ 成分

$$L_z=xp_y-yp_x,\qquad \delta x=-\epsilon y,\quad \delta y=\epsilon x,\quad \delta p_x=-\epsilon p_y,\quad \delta p_y=\epsilon p_x\tag{1.9.18}$$

になる。運動量も位置と同じ向きに同じ角だけ回る。$p=m\dot{\bm{r}}$ の粒子なら、位置を回せば速度も一緒に回るので、この結果は $p=m\dot{\bm{r}}$ から直接分かることと一致する。運動量 $(p_x,p_y)$ の大きさの1次の変化は $2p_x(-\epsilon p_y)+2p_y(\epsilon p_x)=0$ で、回転は運動量の大きさも変えない。