並進・回転・時間発展を同じ形に並べる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第9章 §1.9.4　★★★ 並進は $p$、回転は $L_z$、時間発展は $H$ が生成する。どれも同じ式 (1.9.14) の $G$ を取り替えただけ

3つの変換の表

前の節の定義 (1.9.14) に、3つの生成子を入れて並べる。粒子1個が平面を動く場合で書く。

3つの行は、生成子の欄だけが違う。並進の生成子が $p_x$ になるのは、点変換 $K=(1,0)$ の生成子 (1.9.17) が $p_xK_x+p_yK_y=p_x$ だからである。逆に、ある量を生成子にとると何が動くかを読むこともできる。$G=x$ とすると $\delta x=0$, $\delta p_x=-\epsilon$ で、これは運動量を一斉にずらす変換（運動量の空間の並進）である。

生成子とパラメータの積 $\epsilon G$ は、どの行でも作用（長さ×運動量、角度×角運動量、時間×エネルギー）の次元を持つ。$\delta q=\epsilon\,\partial G/\partial p$ の両辺の次元が合うにはそうでなければならない。この事情は、量子力学で $\epsilon G$ を $\hbar$ で割る理由になる（1.9.5節）。

図 1.9.2 は、自由度1の相空間で3つの生成子の向きを描いたものである。$G=p$ の向きは $(1,0)$ で、全部の点を $q$ 方向に同じだけ動かす。$G=q$ の向きは $(0,-1)$ で、全部の点を $p$ 方向に同じだけ動かす。調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega^2}{2}q^2$ の向きは $(p/m,\ -m\omega^2q)$ で、$m=\omega=1$ では原点のまわりを時計回りに回る。どの場合も、向きは生成子の等高線に沿っている。

図 1.9.2　自由度1の相空間での3つの生成子の向き $(\partial G/\partial p,\ -\partial G/\partial q)$。右の $G=H=\frac12(p^2+q^2)$（$m=\omega=1$）では、矢印は等エネルギー面の円（点線）に接し、$\dot q=p$, $\dot p=-q$ の向き、つまり時計回りに進む。矢印は向きだけを表し、長さは揃えていない

時間発展は生成子 $H$ の流れ

時間発展を生成子 $H$ の1径数変換群 $\Phi_t$ とみると、1.9.2節の結果がそのまま使える。$\Phi_t$ は Hamilton 方程式の解を初期値の関数として書いたもので、関数 $A(q,p)$ の時間変化は式 (1.9.15) で $G=H$, $\epsilon=\mathrm{d} t$ とおいて

$$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}\tag{1.9.19}$$

となる（$A$ があらわに時間を含まない場合）。時間発展が面積を保つ変換の連続であることは、第1部第12章で「時間発展は正準変換の連続」という形で、第3部第1章で Liouville の定理として使う。

動かしても $H$ が変わらない生成子（Noether の定理の予告）

生成子 $G$ の無限小変換で Hamiltonian $H$ がどう変わるかは、式 (1.9.15) で $A=H$ とおいて $\delta H=\epsilon\{H,G\}$ である。一方、$G$ の時間変化は式 (1.9.19) で $A=G$ とおいて $\mathrm{d} G/\mathrm{d} t=\{G,H\}$ である。Poisson 括弧の反対称性から

$$\delta_GH=\epsilon\{H,G\}=-\epsilon\{G,H\}=-\epsilon\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t}\tag{1.9.20}$$

が成り立つ（$\delta_G$ は「$G$ が生成する変換による変化」の意）。左辺が $0$ であることと右辺が $0$ であることは同じなので、次のことが成り立つ。

この同値は、$G$ と $H$ の役割を入れ替えても成り立つ。$G$ の流れで $H$ が変わらないなら、$H$ の流れ（時間発展）で $G$ が変わらない。対称性（変換で $H$ が変わらないこと）から保存量が出る、というのが Noether の定理の内容で、相空間の言葉ではそれが式 (1.9.20) の1行になる。$L$ の言葉での Noether の定理（$L$ が全微分だけ変わる場合や、時刻もずらす変換を含めたもの）は 第1部第10章で扱う。