選ぶもの：Lagrangian と、それを変えない無限小変換

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第10章 §1.10.1　★★★ 「対称性がある」を「すべての経路で $\delta L=0$（または全微分）」と式で定義する

運動量・角運動量・エネルギーの保存は、初等力学では別々の事情から導かれる。運動量は作用反作用の法則から、角運動量は中心力ではトルクが $0$ になることから、エネルギーは力がポテンシャルの勾配であることから出す。解析力学では、この3つが同じ1つの定理の3つの場合になる。その定理が Noether の定理で、「Lagrangian $L$ がある連続的な変換で変わらないなら、その変換に対応する量が運動の間ずっと一定に保たれる」と述べる。空間の並進で $L$ が変わらなければ運動量が、回転で変わらなければ角運動量が、時刻をずらしても変わらなければエネルギーが保存する。

この章で選ぶものは、Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ と、それに当てる無限小変換 $\delta q_i=\epsilon K_i$ の組である。当てる道具は3つあり、Euler–Lagrange 方程式（第1部第4章）、正準運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$（第1部第8章）、無限小変換の生成子（第1部第9章）である。出てくるものは、①点変換の対称性から運動量と角運動量、②時刻をずらす変換からエネルギー、③Hamilton 形式での逆向きの主張、の3つである。③は、保存量 $Q$ を生成子として相空間を動かすとちょうど元の変換が再現され、逆に Hamiltonian がその動きで変わらないことと $Q$ の保存が同値になる、という主張で、章の題の「生成子が保存する」はこれを指す。最後に、初等力学での3つの保存則の導き方と、循環座標の言葉で書く教科書の書き方を、この章の定理と並べる。

無限小変換で Lagrangian がどれだけ変わるか

自由度 $f$ の系の Lagrangian $L(q,\dot q,t)$ を1つ選ぶ。一般化座標を少しだけずらす変換

$$q_i(t)\ \longrightarrow\ q_i(t)+\epsilon K_i(q(t),t)\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.10.1}$$

を考える。$\epsilon$ は小さい実数のパラメータで、$K_i(q,t)$ はずらす向きを決める関数である。並進なら $K_i$ は定数、平面内の回転なら $(K_x,K_y)=(-y,x)$ になる（記法の正本と同じく、$\epsilon>0$ で反時計回り）。この節では $K_i$ が座標と時刻だけによる場合（点変換）を考え、速度にもよる場合は1.10.4節で扱う。

変換 (1.10.1) は経路 $q(t)$ を1本受け取って、別の経路 $q(t)+\epsilon K(q(t),t)$ を返す。第1部第3章の言葉では、これは時刻 $t$ を止めて経路をずらす変分 $\delta q_i=\epsilon K_i$ で、第3章で示したとおり $\delta$ は時刻を止めた $\epsilon$ 微分なので $\delta\dot q_i=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q_i$ が成り立つ。したがって速度の変化は

$$\delta\dot q_i=\epsilon\dot K_i,\qquad \dot K_i\coloneqq\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}K_i(q(t),t)=\sum_{j=1}^f\frac{\partial K_i}{\partial q_j}\dot q_j+\frac{\partial K_i}{\partial t}\tag{1.10.2}$$

で、$\dot K_i$ は経路に沿った全微分である。$L$ の1次の変化は連鎖律から

$$\delta L\coloneqq\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}L\bigl(q+\epsilon K,\ \dot q+\epsilon\dot K,\ t\bigr)\Big|_{\epsilon=0} =\epsilon\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q_i}K_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot K_i\Bigr)\tag{1.10.3}$$

になる。$\delta L$ は経路を1本決めるたびに決まる時刻 $t$ の関数である。

対称性の定義

準対称性を含めておく理由は、作用 $S[q]=\int L\,\mathrm{d} t$ が全微分の項の分だけしか変わらないからである。式 (1.10.4) を積分すると $\delta S=\epsilon\bigl[\Lambda\bigr]_{t_1}^{t_2}$ となり、端の値だけで決まる。第1部第4章で見たとおり、$L$ に全微分 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda(q,t)$ を足しても Euler–Lagrange 方程式は変わらないので、準対称性の変換は運動方程式の形を変えない。この意味で準対称性も「対称性」の仲間に入れる。

定義で「すべての経路」と言っている点が大事である。運動方程式の解だけで $\delta L$ を調べるのではなく、解でない経路を入れても$\delta L=0$（または全微分）でなければならない。この条件は、$L$ の関数の形だけを見て判定することができる。解を知らなくても判定できるので、運動を解く前に保存量を見つけることができる。この条件をなぜ解の上だけで課してはいけないかは、1.10.3節の落とし穴の箱で説明する。

典型的な例

$N$ 個の粒子が3次元空間を動き、位置を $\bm{r}_a$（$a=1,\dots,N$）、Lagrangian を

$$L=\sum_{a=1}^N\frac{m_a}{2}\dot{\bm{r}}_a^{\,2}-V(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_N)\tag{1.10.5}$$

とする。運動エネルギーは速度にしかよらないので、変換で変わるのはポテンシャルだけである。

並進は、すべての粒子を同じ向き $\bm{n}$（単位ベクトル）に $\epsilon$ だけずらす変換 $\delta\bm{r}_a=\epsilon\bm{n}$ である。速度は変わらず、$\delta L=-\epsilon\sum_a\bm{n}\cdot\nabla_aV$ となる。$V$ が粒子の位置の差 $\bm{r}_a-\bm{r}_b$ だけで書けているなら、すべての $\bm{r}_a$ を同じだけずらしても差は変わらないので $\delta L=0$ で、並進は対称性である。

回転は、軸 $\bm{n}$ のまわりに角度 $\epsilon$ だけ回す変換で、1次では $\delta\bm{r}_a=\epsilon\,\bm{n}\times\bm{r}_a$ となる。$\bm{n}=\bm{e}_z$ なら $(\delta x_a,\delta y_a)=\epsilon(-y_a,x_a)$ で、これが冒頭の $(K_x,K_y)=(-y,x)$ である。速度も同じ形 $\delta\dot{\bm{r}}_a=\epsilon\,\bm{n}\times\dot{\bm{r}}_a$ で回るので、$\dot{\bm{r}}_a^{\,2}$ は1次で変わらない（$\dot{\bm{r}}_a\cdot(\bm{n}\times\dot{\bm{r}}_a)=0$）。$V$ が粒子間の距離 $\lvert \bm{r}_a-\bm{r}_b\rvert$ や原点からの距離 $\lvert \bm{r}_a\rvert$ だけで書けているなら、回転で $V$ も変わらず、回転は対称性である。

図 1.10.1 は1粒子・2次元でこの判定を描いたものである。回転の向き $(K_x,K_y)=(-y,x)$ は原点を中心とする円の接線の向きなので、等ポテンシャル線が同心円なら、変換の向きは等ポテンシャル線に沿い、$V$ は1次で変わらない。等ポテンシャル線が楕円なら、変換の向きが等ポテンシャル線を横切る点があり、そこで $V$ が変わる。1次の変化 $\delta V=\epsilon(-y\,\partial_xV+x\,\partial_yV)$ は極座標 $(r,\varphi)$ での偏微分 $\epsilon\,\partial V/\partial\varphi$ に等しいので、回転が対称性であることは「$V$ が角度 $\varphi$ によらない」ことと同じである。