出てくるもの（2）：時刻をずらす変換とエネルギー

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第10章 §1.10.4　★★★ $L$ が $t$ を陽に含まなければ $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ が保存する。$H$ が力学的エネルギーと一致するとは限らない

時刻をずらす変換を、時刻を止めた変分に直す

時刻の並進は、経路 $q(t)$ を時間方向に $\epsilon$ だけ先へ進めて $q(t+\epsilon)$ に置き換える変換である。同じ時刻 $t$ で比べると

$$\delta q_i(t)=q_i(t+\epsilon)-q_i(t)=\epsilon\dot q_i(t)+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{1.10.13}$$

となるので、変換の向きは $K_i=\dot q_i$ で、速度による。1.10.1節では $K_i$ を $q$ と $t$ の関数に限ったが、Noether の恒等式 (1.10.8) の導出は、$\delta\dot q_i=\epsilon\dot K_i$（$\dot K_i$ は経路に沿った全微分）と積の微分しか使っていない。$K_i$ が速度や加速度を含んでいても、経路を1本決めれば $K_i(t)$ は時刻の関数として決まり、$\dot K_i$ はその導関数なので、恒等式は同じように成り立つ。定理 1.10.2 も、$\Lambda$ を $q$, $\dot q$, $t$ の関数に広げて同じ証明で成り立つ。

第1部第3章で、時刻もずらす変分では $\delta\dot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q$ がそのまま使えないことを注意した。ここでの扱いはそれを避ける形になっている。一般に、時刻を $t\to t'=t+\epsilon\tau(t)$ とずらし、同時に座標を $q_i\to q_i+\epsilon K_i$ とずらす変換では、「新しい経路の時刻 $t'$ での値」と「元の経路の時刻 $t$ での値」の差

$$\Delta q_i\coloneqq q'_i(t')-q_i(t)=\epsilon K_i$$

を変分と呼びたくなる。しかし $\Delta$ は比べる時刻自体を動かしているので、$\tau$ が時刻によるときは時間微分と交換しない。そこで同じ時刻で比べた変分 $\delta q_i(t)\coloneqq q'_i(t)-q_i(t)$ に直す。$q'_i(t')=q'_i(t)+\epsilon\tau\dot q_i+\mathcal{O}(\epsilon^2)$ なので

$$\delta q_i=\Delta q_i-\epsilon\tau\dot q_i=\epsilon\,(K_i-\tau\dot q_i)\tag{1.10.14}$$

となり、$\delta$ は時刻を止めた変分なので第3章の規則がそのまま使える。時刻をずらす変換は、向きが $K_i-\tau\dot q_i$ の、速度による変換として扱えばよい。この形で定理を当てると、保存量は

$$Q=\sum_ip_i(K_i-\tau\dot q_i)-\Lambda\tag{1.10.15}$$

になる（$\Lambda$ は時刻を止めた変分で測った $\delta L=\epsilon\dot\Lambda$ の $\Lambda$）。時刻の並進 $q'(t)=q(t+\epsilon)$ は、$t'=t-\epsilon$（$\tau=-1$）で $q'(t')=q(t)$（$K=0$）とした場合にあたり、式 (1.10.14) は式 (1.10.13) に戻る。

エネルギーの保存

$K_i=\dot q_i$ を式 (1.10.3) に入れると、$\dot K_i=\ddot q_i$ なので

$$\delta L=\epsilon\sum_i\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i\Bigr)=\epsilon\Bigl(\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}-\frac{\partial L}{\partial t}\Bigr)\tag{1.10.16}$$

を得る（$\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}$ は経路に沿った全微分、$\frac{\partial L}{\partial t}$ は $q$, $\dot q$ を止めた偏微分）。$L$ が時刻を陽に含まなければ（$\partial L/\partial t=0$）、すべての経路で $\delta L=\epsilon\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}$ となり、$\Lambda=L$ の準対称性である。定理から

$$Q=\sum_ip_i\dot q_i-L=H\tag{1.10.17}$$

が保存する。これは第1部第7章の Legendre 変換で $L$ から作った Hamiltonian と同じ式である。

$L$ が時刻を陽に含むときも、恒等式 (1.10.8) と式 (1.10.16) を比べると、解の上で

$$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=-\frac{\partial L}{\partial t}\tag{1.10.18}$$

が成り立つ。$H$ の変化は、$L$ が時刻を陽に含む分だけで決まる。

「保存」はいつも時刻について一定の意味で、対称性はずらすもので分かれる

「保存する」という語は、運動の間に値が時刻とともに変わらないことを指す。運動量でも角運動量でもエネルギーでも、この意味は同じである。保存量どうしを分けるのは、どの変換で $L$ が変わらないかのほうである。この章の3つの場合を並べる。

右の欄の「一定」は、3行とも時刻 $t$ についての一定である。違うのは左の欄の「何をずらすか」で、時刻の並進の行だけは、ずらす変数も一定に保たれる変数も時刻になっている。そのため、この行では「時刻について一定」と「時刻をずらす対称性」の2つが混ざりやすい。

時刻をずらして変わらないのは状態でなく規則

時刻の並進の対称性が要求するのは、粒子の状態が時刻とともに変わらないことではない。運動を決める規則、つまり $L$ の関数形が $t$ を陽に含まないことである。このとき、同じ初期条件から10時に動かし始めても15時に動かし始めても、同じ運動が時刻だけ5時間ずれて起こる。粒子の位置と速度は運動の間に変わってよい。

1次元の粒子で $L=\frac12m\dot x^2-V(x,t)$ とし、力学的エネルギー $E=\frac12m\dot x^2+V(x,t)$ を経路に沿って微分する。

$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}&=m\dot x\ddot x+\frac{\partial V}{\partial x}\dot x+\frac{\partial V}{\partial t}&&\text{（}{V(x(t),t)}\text{ の連鎖律）}\\ &=\dot x\Bigl(m\ddot x+\frac{\partial V}{\partial x}\Bigr)+\frac{\partial V}{\partial t}&&\\ &=\frac{\partial V}{\partial t}&&\text{（運動方程式 }{m\ddot x=-\partial V/\partial x}\text{）}\end{aligned}$$

これは式 (1.10.18) の右辺 $-\partial L/\partial t$ を、この $L$ について書いたものである。

偏微分と全微分の役割を分けておく。$\partial V/\partial t$ は位置を止めて測った変化で、ポテンシャルの関数形そのものが時刻とともに変わる分である。全微分の中の $\dot x\,\partial V/\partial x$ は、粒子が動いて別の場所の $V$ を見ることによる変化である。この項は運動エネルギーの変化 $m\dot x\ddot x$ と打ち消し合うので、運動エネルギーと位置エネルギーのやりとりでは $E$ は変わらない。

空間の並進でも同じ区別がある。運動量が保存する条件は、粒子が動かないことではなく、$V$ の関数形が $x$ によらないことである。このとき $\dot p=-\partial V/\partial x=0$ で、粒子自身は動き回ってよい。

$H$ が力学的エネルギーにならない場合

保存する量は $H$ で、力学的エネルギー $E=T+V$ ではない。両者が一致するのは、$T$ が速度の2次の同次式で $V$ が速度によらないときである。このとき Euler の同次関数の定理から $\sum_i\dot q_i\,\partial T/\partial\dot q_i=2T$ で、$H=2T-(T-V)=T+V$ となる。直交座標で書いた粒子系や、時刻によらない拘束で動く系はこの場合に入る。拘束が時刻とともに動く系では、一般化座標で書いた $T$ に速度の1次や0次の項が入り、$H\neq E$ になる。そのとき $E$ は保存しなくてもよく、$H$ は $L$ が時刻を陽に含まなければ保存する。