解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部 第10章 §1.10.3 ★★★ 対称性ごとに保存量 Q = ∑ i p i K i − Λ Q=\sum_ip_iK_i-\Lambda Q = ∑ i p i K i − Λ
定理
定理 1.10.2（Noether の定理（点変換））
無限小変換 δ q i = ϵ K i ( q , t ) \delta q_i=\epsilon K_i(q,t) δ q i = ϵ K i ( q , t ) L L L δ L = ϵ d d t Λ ( q , t ) \delta L=\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda(q,t) δ L = ϵ d t d Λ ( q , t )
Q ≔ ∑ i = 1 f p i K i ( q , t ) − Λ ( q , t ) (1.10.10) Q\coloneqq\sum_{i=1}^fp_iK_i(q,t)-\Lambda(q,t)\tag{1.10.10} Q : = i = 1 ∑ f p i K i ( q , t ) − Λ ( q , t ) ( 1.10.10 )
は Euler–Lagrange 方程式のすべての解の上で時刻によらない。Λ = 0 \Lambda=0 Λ = 0 Q = ∑ i p i K i Q=\sum_ip_iK_i Q = ∑ i p i K i
証明 恒等式 (1.10.8) の左辺に仮定 δ L = ϵ Λ ˙ \delta L=\epsilon\dot\Lambda δ L = ϵ Λ ˙
ϵ d d t ( ∑ i p i K i − Λ ) = − ϵ ∑ i E i K i \epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\sum_ip_iK_i-\Lambda\Bigr)=-\epsilon\sum_i\mathcal E_iK_i ϵ d t d ( i ∑ p i K i − Λ ) = − ϵ i ∑ E i K i
が成り立つ。解の上では E i = 0 \mathcal E_i=0 E i = 0 0 0 0 Q ˙ = 0 \dot Q=0 Q ˙ = 0
定理は E. Noether が1918年の論文で示した1 1 E. Noether (1918), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1918, 235–257（題は Invariante Variationsprobleme ）。原論文は場の理論を含む一般の変分問題を扱い、有限個のパラメータの変換の群（この章の場合）と、任意の関数をパラメータにもつ変換の群（ゲージ変換の場合）の2つの定理を述べている。∑ i p i K i \sum_ip_iK_i ∑ i p i K i K i K_i K i p i p_i p i
並進から運動量、回転から角運動量
式 (1.10.5) の N N N V V V δ r a = ϵ n \delta\bm{r}_a=\epsilon\bm{n} δ r a = ϵ n a a a n \bm{n} n
Q = ∑ a p a ⋅ n = n ⋅ P , P ≔ ∑ a m a r ˙ a . (1.10.11) Q=\sum_a\bm{p}_a\cdot\bm{n}=\bm{n}\cdot\bm{P},\qquad \bm{P}\coloneqq\sum_am_a\dot{\bm{r}}_a .\tag{1.10.11} Q = a ∑ p a ⋅ n = n ⋅ P , P : = a ∑ m a r ˙ a . ( 1.10.11 )
n \bm{n} n P \bm{P} P δ r a = ϵ n × r a \delta\bm{r}_a=\epsilon\,\bm{n}\times\bm{r}_a δ r a = ϵ n × r a
Q = ∑ a p a ⋅ ( n × r a ) = n ⋅ ∑ a r a × p a = n ⋅ L (1.10.12) Q=\sum_a\bm{p}_a\cdot(\bm{n}\times\bm{r}_a)=\bm{n}\cdot\sum_a\bm{r}_a\times\bm{p}_a=\bm{n}\cdot\bm{L}\tag{1.10.12} Q = a ∑ p a ⋅ ( n × r a ) = n ⋅ a ∑ r a × p a = n ⋅ L ( 1.10.12 )
で（スカラー三重積の巡回を使った）、軸の向きに選べる3方向に応じて全角運動量 L \bm{L} L V ( ∣ r ∣ ) V(\lvert \bm{r}\rvert ) V (∣ r ∣)
準対称性の例
Galilei 変換と重心の等速運動
式 (1.10.5) で V V V ϵ n \epsilon\bm{n} ϵ n δ r a = ϵ n t \delta\bm{r}_a=\epsilon\bm{n}\,t δ r a = ϵ n t K K K t t t V V V δ r ˙ a = ϵ n \delta\dot{\bm{r}}_a=\epsilon\bm{n} δ r ˙ a = ϵ n
δ L = ϵ ∑ a m a r ˙ a ⋅ n = ϵ d d t ( n ⋅ ∑ a m a r a ) . \delta L=\epsilon\sum_am_a\dot{\bm{r}}_a\cdot\bm{n}=\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\bm{n}\cdot\sum_am_a\bm{r}_a\Bigr). δ L = ϵ a ∑ m a r ˙ a ⋅ n = ϵ d t d ( n ⋅ a ∑ m a r a ) .
これは準対称性で、Λ = n ⋅ M R \Lambda=\bm{n}\cdot M\bm{R} Λ = n ⋅ M R M = ∑ a m a M=\sum_am_a M = ∑ a m a R = ∑ a m a r a / M \bm{R}=\sum_am_a\bm{r}_a/M R = ∑ a m a r a / M (1.10.10) から
Q = ∑ a p a ⋅ n t − n ⋅ M R = n ⋅ ( P t − M R ) Q=\sum_a\bm{p}_a\cdot\bm{n}\,t-\bm{n}\cdot M\bm{R}=\bm{n}\cdot(\bm{P}\,t-M\bm{R}) Q = a ∑ p a ⋅ n t − n ⋅ M R = n ⋅ ( P t − M R )
が保存する。P \bm{P} P R ( t ) = R ( 0 ) + ( P / M ) t \bm{R}(t)=\bm{R}(0)+(\bm{P}/M)\,t R ( t ) = R ( 0 ) + ( P / M ) t
解の上だけで対称性を調べてはいけない理由
恒等式 (1.10.8) は、解の上では δ L = ϵ d d t ( ∑ i p i K i ) \delta L=\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\sum_ip_iK_i\bigr) δ L = ϵ d t d ( ∑ i p i K i ) どんな 変換 K K K δ L \delta L δ L Λ = ∑ i p i K i \Lambda=\sum_ip_iK_i Λ = ∑ i p i K i Q = 0 Q=0 Q = 0 1.10.1 は δ L = ϵ Λ ˙ \delta L=\epsilon\dot\Lambda δ L = ϵ Λ ˙ すべての経路 で要求するので、この選び方は許されない。解でない経路では恒等式の第1項 ϵ ∑ i E i K i \epsilon\sum_i\mathcal E_iK_i ϵ ∑ i E i K i Λ = ∑ i p i K i \Lambda=\sum_ip_iK_i Λ = ∑ i p i K i δ L = ϵ Λ ˙ \delta L=\epsilon\dot\Lambda δ L = ϵ Λ ˙ Λ \Lambda Λ L L L Q = ∑ i p i K i − Λ Q=\sum_ip_iK_i-\Lambda Q = ∑ i p i K i − Λ
例題 1.10.3 一様な重力場での準対称性 ★★
オリジナル 鉛直の x z xz x z m m m L = m 2 ( x ˙ 2 + z ˙ 2 ) − m g z L=\frac m2(\dot x^2+\dot z^2)-mgz L = 2 m ( x ˙ 2 + z ˙ 2 ) − m g z z z z
(1) 水平の並進 δ x = ϵ \delta x=\epsilon δ x = ϵ (2) 鉛直の並進 δ z = ϵ \delta z=\epsilon δ z = ϵ δ L \delta L δ L Λ \Lambda Λ Q Q Q (3) z ( 0 ) = z 0 z(0)=z_0 z ( 0 ) = z 0 z ˙ ( 0 ) = v 0 \dot z(0)=v_0 z ˙ ( 0 ) = v 0 Q Q Q
解答 (1) L L L x x x δ L = 0 \delta L=0 δ L = 0 K x = 1 K_x=1 K x = 1 K z = 0 K_z=0 K z = 0 Q = p x = m x ˙ Q=p_x=m\dot x Q = p x = m x ˙
(2) 速度は変わらず、δ L = ϵ ∂ L / ∂ z = − ϵ m g \delta L=\epsilon\,\partial L/\partial z=-\epsilon mg δ L = ϵ ∂ L / ∂ z = − ϵ m g ϵ d d t ( − m g t ) \epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(-mgt) ϵ d t d ( − m g t ) Λ = − m g t \Lambda=-mgt Λ = − m g t (1.10.10) から
Q = p z ⋅ 1 − Λ = m z ˙ + m g t . Q=p_z\cdot1-\Lambda=m\dot z+mgt . Q = p z ⋅ 1 − Λ = m z ˙ + m g t .
鉛直の並進は Lagrangian を定数 − m g ϵ -mg\epsilon − m g ϵ p z p_z p z p z + m g t p_z+mgt p z + m g t
(3) 解は z = z 0 + v 0 t − 1 2 g t 2 z=z_0+v_0t-\frac12gt^2 z = z 0 + v 0 t − 2 1 g t 2 z ˙ = v 0 − g t \dot z=v_0-gt z ˙ = v 0 − g t Q = m ( v 0 − g t ) + m g t = m v 0 Q=m(v_0-gt)+mgt=mv_0 Q = m ( v 0 − g t ) + m g t = m v 0 m v 0 mv_0 m v 0 p z p_z p z m g mg m g
1 E. Noether (1918), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1918, 235–257（題は Invariante Variationsprobleme ）。原論文は場の理論を含む一般の変分問題を扱い、有限個のパラメータの変換の群（この章の場合）と、任意の関数をパラメータにもつ変換の群（ゲージ変換の場合）の2つの定理を述べている。
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