当てる道具：Euler–Lagrange 方程式・正準運動量・生成子

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第10章 §1.10.2　★★★ $\delta L$ を「運動方程式の部分」と「全微分の部分」に分ける恒等式を作る。第4章で捨てた端の項がここで保存量になる

前の章から借りる3つの道具

1つ目は Euler–Lagrange 方程式

$$\mathcal E_i\coloneqq\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}=0\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.10.6}$$

である（第1部第4章）。左辺の $\mathcal E_i$ は、第1部第3章の汎関数微分 $\delta S/\delta q_i(t)$ と同じ式である。この章では、運動方程式の解でない経路でも $\mathcal E_i$ を「経路を入れると決まる時刻の関数」として使う。解の上ではこれが $0$ になる。

2つ目は正準運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$（第1部第8章）である。3つ目は無限小変換の生成子（第1部第9章）で、相空間の関数 $G(q,p,t)$ を1つ決めると

$$\delta q_i=\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_i},\qquad \delta p_i=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}\tag{1.10.7}$$

によって相空間の点を動かす変換が決まる。並進は $G=p$、平面内の回転は $G=L_z=xp_y-yp_x$、時間発展は $G=H$ で $\epsilon=\mathrm{d} t$ である（$L_z$ は角運動量の $z$ 成分で、Lagrangian $L$ とは添字で区別する）。3つ目の道具は1.10.5節で使う。

Noether の恒等式

式 (1.10.3) の第2項に積の微分 $\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\dot K_i=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}K_i\Bigr)-\Bigl(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\Bigr)K_i$ を使うと、

$$\delta L=\epsilon\sum_{i=1}^f\mathcal E_i\,K_i+\epsilon\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Bigl(\sum_{i=1}^fp_iK_i\Bigr)\tag{1.10.8}$$

を得る。この式をNoether の恒等式と呼ぶ。積の微分を書き換えただけなので、運動方程式を使っておらず、すべての経路で成り立つ。右辺の第1項は運動方程式の左辺に比例する部分で、解の上では消える。第2項は時刻の全微分で、中身は運動量と変換の向きの内積 $\sum_ip_iK_i$ である。

時刻で積分すると

$$\delta S=\epsilon\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\mathcal E_iK_i\,\mathrm{d} t+\epsilon\Bigl[\sum_ip_iK_i\Bigr]_{t_1}^{t_2}\tag{1.10.9}$$

となる。これは第1部第4章で Euler–Lagrange 方程式を出したときの部分積分と同じ式で、第4章では許される向きが端で $0$ だったので端の項 $\bigl[\sum_ip_i\delta q_i\bigr]_{t_1}^{t_2}$ を捨てた。この章では端で $0$ にならない向き $K_i$ を使うので、端の項が残る。次の節の定理は、この端の項が対称性のおかげで時刻によらない量になる、という主張である。