一般の $L(q,\dot q,t)$ の汎関数微分と Euler–Lagrange 方程式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.1　★★★ 前の章の (b) と (d) を組み合わせると、一般の $L$ の汎関数微分は $\partial L/\partial q-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\partial L/\partial\dot q$ になる

前の章（第1部第3章）では、汎関数 $F[q]$ の第1変分と汎関数微分 $\delta F/\delta q(t)$ を定義し、変分法の基本補題によって「停留 $\Leftrightarrow$ 汎関数微分 $=0$」を示した。ただし扱った汎関数は $\int V(q)\,\mathrm{d} t$ や $\int\frac12\dot q^2\,\mathrm{d} t$ のような具体的なものに限っていた。この章では、被積分関数を一般の $L(q,\dot q,t)$ にして汎関数微分を一度に計算する。その結果を $0$ とおいたものが Euler–Lagrange 方程式で、解析力学の運動方程式はすべてこの形をしている。この章でも物理の内容には立ち入らず、$L$ は「3つの数を入れて数を返す与えられた関数」とだけ考える。

この章で作る道具は3つある。1つ目は Euler–Lagrange 方程式そのもので、自由度が複数ある場合と、$L$ が時刻 $t$ を陽に含む場合まで含めて導く。2つ目は第一積分で、$L$ がある変数を含まないときに、2階の微分方程式を1階に下げる量が見つかる。$L$ に時刻の関数の全微分を足しても方程式が変わらないことも、ここで示す。3つ目は端の条件で、前の章では端の値を固定していたが、端の値を自由にすると部分積分で出る端の項が消えずに残り、それが境界条件を決める。

この3つを使って、古典的な2つの変分問題を最後まで解く。1つは、2つの輪の間に張った石けん膜の形と、両端を吊るした鎖の形で、どちらも双曲線余弦 $\cosh$ のグラフ（懸垂線）になる。もう1つは、重力の下で玉を最も短い時間で滑り下ろす曲線を探す問題で、答えはサイクロイドになる。最後に、ここで出てきた式が、力の釣り合い・力学的エネルギー保存・Snell の法則・弦の自由端の条件といった、学部の授業で別々に習う形とどう対応するかを並べる。$L=T-V$ という選び方の理由は次の章（第1部第5章）で扱う。

1変数の場合

区間 $[t_1,t_2]$ 上の汎関数

$$S[q]=\int_{t_1}^{t_2}L\bigl(q(t),\dot q(t),t\bigr)\,\mathrm{d} t\tag{1.4.1}$$

を考える。$L$ は3変数の滑らかな関数で、経路 $q(t)$ は2回連続微分できるものとする。許される向き $\eta$（端で $0$ になる滑らかな関数）について、前の章の定義どおり $\epsilon$ で微分する。積分の範囲は $\epsilon$ によらないので微分を積分の中へ入れてよく、被積分関数の $\epsilon$ 微分は3変数関数の連鎖律で計算できる。

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}L\bigl(q+\epsilon\eta,\ \dot q+\epsilon\dot\eta,\ t\bigr)\Big|_{\epsilon=0}=\frac{\partial L}{\partial q}\eta+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta .$$

ここで $\partial L/\partial q$ は「第2・第3引数を止めて第1引数で微分し、そこへ $q(t),\dot q(t),t$ を入れたもの」で、$\partial L/\partial\dot q$ も同じである。したがって第1変分は

$$\delta S=\epsilon\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q}\eta+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\Bigr)\mathrm{d} t\tag{1.4.2}$$

になる。第2項は $\eta$ でなく $\dot\eta$ に掛かっているので、汎関数微分の定義の形 $\int(\cdots)\eta\,\mathrm{d} t$ になっていない。前の章の例 (d) と同じく、部分積分で導関数を $\eta$ から外す。$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\eta\bigr)=\bigl(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\bigr)\eta+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta$ を使うと

$$\delta S=\epsilon\Bigl[\frac{\partial L}{\partial \dot q}\eta\Bigr]_{t_1}^{t_2}+\epsilon\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Bigr)\eta\,\mathrm{d} t .\tag{1.4.3}$$

許される向きは端で $0$ なので第1項（端の項）は消え、残りがちょうど定義の形になる。

証明

式 (1.4.3) の端の項は $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ で消えるので、$\delta S=\int(\partial L/\partial q-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\partial L/\partial\dot q)\,\delta q\,\mathrm{d} t$ となり、汎関数微分の定義から式 (1.4.4) を得る。$q$ が2回連続微分できるので括弧の中は連続で、停留と式 (1.4.5) が同じであることは基本補題（第1部第3章の変分法の基本補題）から従う。

前の章で求めた2つの例はこの特別な場合である。$L=V(q)$ なら $\partial L/\partial\dot q=0$ で汎関数微分は $V'(q)$、$L=\frac12\dot q^2$ なら $\partial L/\partial q=0$, $\partial L/\partial\dot q=\dot q$ で汎関数微分は $-\ddot q$ になる。Euler–Lagrange 方程式の左辺と汎関数微分は符号だけが違う。方程式の形としては、慣例に合わせて $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ の項を先に書く。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ は経路に沿った微分

式 (1.4.5) の $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ は、$\partial L/\partial\dot q$ に経路 $q(t),\dot q(t)$ と時刻 $t$ を入れて $t$ だけの関数にしてから、それを $t$ で微分する、という意味である。$\partial L/\partial\dot q$ は3つの引数すべてを通して $t$ に依存するので、連鎖律で展開すると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial^2L}{\partial\dot q\,\partial q}\dot q+\frac{\partial^2L}{\partial\dot q^2}\ddot q+\frac{\partial^2L}{\partial\dot q\,\partial t}\tag{1.4.6}$$

になる。$\ddot q$ が現れるのはこの第2項だけで、係数 $\partial^2L/\partial\dot q^2$ が $0$ でなければ、Euler–Lagrange 方程式は $\ddot q$ について解ける2階の常微分方程式になる。2階の方程式なので、解を1つに決めるには条件が2つ要る。端の値 $q(t_1)$ と $q(t_2)$ を決めた問題では、この2つが条件になる。どちらか一方の端の値を自由にしたときに何が代わりの条件になるかは 1.4.3節で調べる。

偏微分の段階で位置 $q$ と速度 $\dot q$ を独立な変数として扱ってよいのは、Lagrangian が1本の経路の上の量ではなく、経路を選ぶ前の「位置・速度・時刻の組」の関数だからである。同じ時刻に同じ位置を通る経路は無数にあり、それぞれが違う速度でそこを通るので、位置と時刻を決めても速度は決まらない。したがって3つの値の組はどれも実際に起こりうる組で、$L$ はその3次元の空間の上の普通の関数として定義される（第1部第3章で述べた区別）。微分幾何では、各位置で取りうる速度をすべて集めた空間を接束と呼び、$(q,\dot q)$ はその上の座標である。

この見方から、Euler–Lagrange 方程式の左辺の計算は次の3つの手順に分かれる。

1. (i) $L$ を3変数の関数として偏微分する。結果はまだ $(q,\dot q,t)$ の関数で、経路は入れない。
2. (ii) 偏微分した結果に、経路 $q(t)$ とその導関数を代入する。ここで初めて時刻だけの関数になる。
3. (iii) それを時刻で微分する。これが式 (1.4.5) の $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ である。

手順を入れ替えて先に経路を代入すると、$L$ は時刻だけの関数になり、「$\dot q$ で偏微分する」という操作が意味を失う。位置と速度の組の空間（接束）は、詳しくは基礎理論『物理のための微分幾何入門』第3章 §3.5 で扱う。

係数 $\partial^2L/\partial\dot q^2$ が恒等的に $0$、すなわち $L$ が $\dot q$ について1次式のときは、式 (1.4.6) に $\ddot q$ が現れず、方程式は2階にならない。極端な場合として $L=\dot q\,f(q)$ を考えると、$\partial L/\partial q=\dot q f'(q)$, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\partial L/\partial\dot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}f(q)=f'(q)\dot q$ で、Euler–Lagrange 方程式は $0=0$ という恒等式になる。この $L$ は $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int^{q}f$ と書ける全微分で、$S$ の値が端の値だけで決まるので、どの経路も停留する。全微分を足しても Euler–Lagrange 方程式が変わらないことは、1.4.2節で一般に示す。

自由度が複数の場合

経路が $f$ 個の関数の組 $q=(q_1,\dots,q_f)$ で、$L(q_1,\dots,q_f,\dot q_1,\dots,\dot q_f,t)$ のときも、手順は同じである。向きも $f$ 個の関数の組 $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_f)$ にとり、$q_i\to q_i+\epsilon\eta_i$ と一斉に動かすと

$$\delta S=\epsilon\sum_{i=1}^f\Bigl[\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\eta_i\Bigr]_{t_1}^{t_2}+\epsilon\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\Bigr)\eta_i\,\mathrm{d} t .$$

各成分の向き $\eta_i$ は互いに独立に選べる。$j$ 番目以外の $\eta_i$ を $0$ にとれば、基本補題を $j$ 番目の成分だけに当てはめることができ、

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.4.7}$$

の $f$ 本の方程式を得る。$\delta S/\delta q_i(t)=\partial L/\partial q_i-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\partial L/\partial\dot q_i$ は、成分ごとの汎関数微分である。「向きを成分ごとに独立に選べる」という前提は、$q_i$ の間に拘束がないときにだけ成り立つ。$q_1^2+q_2^2=1$ のような拘束があるときの扱いは第1部第6章（拘束と未定乗数）で扱う。