この章のまとめ

(1) $\Delta t=\frac12$。和の2つの項は $k=0$ が $\bigl[\frac12(q_1/\Delta t)^2-\frac{a^2}{2}\cdot0^2\bigr]\Delta t=q_1^2$、$k=1$ が $\bigl[\frac12\bigl((1-q_1)/\Delta t\bigr)^2-\frac{a^2}{2}q_1^2\bigr]\Delta t=(1-q_1)^2-\frac{a^2}{4}q_1^2$ なので

$$S_2(q_1)=q_1^2+(1-q_1)^2-\frac{a^2}{4}q_1^2 .$$

$\frac{\mathrm{d} S_2}{\mathrm{d} q_1}=2q_1-2(1-q_1)-\frac{a^2}{2}q_1=0$ から $q_1=\dfrac{4}{8-a^2}$。$a=1$ では $q_1=\frac47\approx0.571$。これは折れ線の空間（内側の分点が1つ）での近似で、近似の数理 第4章の言葉では部分空間を狭めた A 型の近似である。

(2) $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \epsilon}\Bigl[\frac12(\dot q+\epsilon\dot\eta)^2-\frac{a^2}{2}(q+\epsilon\eta)^2\Bigr]_{\epsilon=0}=\dot q\dot\eta-a^2q\eta$ なので

$$\delta F=\epsilon\int_0^1\bigl(\dot q\,\dot\eta-a^2q\,\eta\bigr)\mathrm{d} t .$$

(3) 第1項を部分積分し、端の項 $[\dot q\eta]_0^1$ が $\eta(0)=\eta(1)=0$ で消えるので $\delta F=\epsilon\int_0^1(-\ddot q-a^2q)\eta\,\mathrm{d} t$。よって$\dfrac{\delta F}{\delta q(t)}=-\ddot q(t)-a^2q(t)$。

(4) 基本補題から、停留は $\ddot q+a^2q=0$ と同じで、一般解は $q=A\sin at+B\cos at$。$q(0)=0$ から $B=0$、$q(1)=1$ から $A=1/\sin a$（$0<a<\pi$ なので $\sin a\neq0$）。よって

$$q_*(t)=\frac{\sin at}{\sin a}.$$

$a=1$ では $q_*(1/2)=\sin\frac12/\sin1=0.4794/0.8415\approx0.570$ で、(1) の $0.571$ と3桁目まで近い。分点を増やすと離散化の停留点は $q_*$ に近づく（$N=400$ で最大の差は $4\times10^{-8}$ 程度）。

(5) 代入して展開すると、$F$ が2次式なので

$$F[q_*+\eta]-F[q_*]=\int_0^1\bigl(\dot q_*\dot\eta-a^2q_*\eta\bigr)\mathrm{d} t+\frac12\int_0^1\bigl(\dot\eta^2-a^2\eta^2\bigr)\mathrm{d} t .$$

第1項は (3) と同じ部分積分で $\int(-\ddot q_*-a^2q_*)\eta\,\mathrm{d} t=0$。第2項に Wirtinger の不等式 (1.3.19)（$T=1$）を使うと

$$F[q_*+\eta]-F[q_*]=\frac12\int_0^1\bigl(\dot\eta^2-a^2\eta^2\bigr)\mathrm{d} t\ \ge\ \frac{\pi^2-a^2}{2}\int_0^1\eta^2\,\mathrm{d} t>0\qquad(\eta\neq0).$$

よって $0<a<\pi$ で $q_*$ は唯一の最小点である。$a>\pi$ では $\eta=\sin\pi t$ を入れると右辺の第2項が $\frac{\pi^2-a^2}{4}<0$ となり、停留点があっても最小点ではない（$a$ が $\pi$ の整数倍でなければ停留点 $q_*$ は存在するが、その向きに動かすと $F$ は減る）。これは1.3.5節の式 (1.3.18) と同じ現象で、$\omega T$ が $a$ にあたる。

(6) $\dot q^2=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(q\dot q)-q\ddot q$ を使って第1項を書き換えると

$$F[q_*]=\frac12\bigl[q_*\dot q_*\bigr]_0^1-\frac12\int_0^1q_*\bigl(\ddot q_*+a^2q_*\bigr)\mathrm{d} t=\frac12q_*(1)\dot q_*(1)=\frac12\cdot1\cdot\frac{a\cos a}{\sin a}=\frac a2\cot a .$$

停留点では被積分関数の部分が消え、値は端の項だけで決まる。$a=1$ では $\frac12\cot1\approx0.321$。（離散化の値は $N=400$ で $0.3217$ で、$N$ を増やすと $0.321$ に近づく。）