Galerkin 法：方程式を部分空間に射影する

近似の数理　第4章 §4.1　★★★ 射影型近似すべての骨格。ここで示す「誤差は部分空間の近似能力だけで決まる」が章全体の出発点

多電子原子や分子の波動関数を、原子軌道やガウス関数の線型結合で書く。配置間相互作用（CI）では、Slater 行列式の線型結合で書く。どちらも「真の解はどこか無限次元の空間にあるが、その中の有限次元の部分空間に話を限って、そこで一番良いものを探す」という同じ操作である。第1章ではこれを A 型（射影）と呼んだ。この章では、この操作に対して数学が何を保証し、何を保証しないかを、定理と証明の形で確かめる。

結論を先に書いておく。保証されるのは次の4つである。第一に、部分空間で得た解の誤差は、その部分空間が真の解をどれだけ近似できるかだけで決まる（Céa の補題）。第二に、固有値問題では近似固有値はすべて真の固有値の上界になり、基底を足すたびに単調に下がる（Rayleigh–Ritz の上界性と Cauchy の交互定理）。第三に、エネルギーの誤差は波動関数の誤差の2乗の大きさしかないので、エネルギーは波動関数よりはるかに良く合う。第四に、基底を増やしたときの収束の速さは、真の解がどれだけ滑らかか（正則性）で決まる。原子核の位置や電子どうしの衝突点で波動関数が尖ること（Kato のカスプ）が、量子化学の計算がなかなか収束しない根本の理由である。逆に、どの部分空間を選べば良いかは数学は教えない。そこが物理の直観の出番になる。

ヒルベルト空間と弱形式

まず道具を最小限そろえる。ヒルベルト空間とは、内積 $\langle u,\,v\rangle$ が定義されたベクトル空間で、しかも完備（Cauchy 列が必ず空間の中に極限を持つ）なものをいう。名前は D. Hilbert に由来する。量子力学の状態空間 $L^2(\mathbb{R}^3)$（$\int\lvert \psi\rvert ^2\,\mathrm{d}^3x<\infty$ を満たす関数全体、内積$\langle \phi,\,\psi\rangle =\int\overline{\phi}\,\psi\,\mathrm{d}^3x$）が典型例である。完備性は、近似列 $u_1,u_2,\dots$ がどんどん互いに近づいていくとき、その行き先が空間の外へ逃げないことを保証する。収束を議論するこの章では、この性質が欠かせない。

微分方程式を扱うには、関数そのものだけでなく導関数も2乗可積分であることを要求した空間が便利である。

例として、区間 $(0,1)$ 上の Poisson 方程式 $-u''=f$、$u(0)=u(1)=0$ を考える。両辺に境界で $0$ になる任意の試験関数 $v$ を掛けて積分し、部分積分すると

$$a(u,v)\coloneqq\int_0^1 u'v'\,\mathrm{d} x \;=\; \int_0^1 f v\,\mathrm{d} x\eqqcolon\ell(v)\qquad(\text{すべての }v\in H^1_0(0,1))\tag{4.1}$$

を得る。これを弱形式と呼ぶ。もとの方程式は $u''$ を要求したが、弱形式は $u'$ しか要求しないので、解の候補を $H^1_0$ という広い空間で探せる。この「要求を弱めた」ことが名前の由来である。量子力学の固有値問題 $H\psi=E\psi$ も同じ操作で、$\langle v,\,H\psi\rangle =E\langle v,\,\psi\rangle$ の左辺を部分積分して$\frac12\int\overline{\nabla v}\cdot\nabla\psi+\int V\overline{v}\psi$ と書いたものが弱形式に当たる（第3章の二次形式の言葉では、作用素 $H$ の代わりに二次形式 $q(\phi,\psi)$ で問題を述べることに相当する）。

一般に、ヒルベルト空間 $V$ 上の双線型形式 $a(\cdot,\cdot)$ と線型汎関数 $\ell$ が与えられたとき、「$a(u,v)=\ell(v)$ がすべての $v\in V$ で成り立つ $u\in V$ を求めよ」という問題を考える。次の2条件を課す。

強圧性（coercivity）は「エネルギーが正で、ノルムの2乗を下から押さえる」という条件である。(4.1) の $a(u,u)=\int\lvert u'\rvert ^2$ は、境界条件 $u(0)=0$ のもとで Poincaré の不等式$\int_0^1\lvert u\rvert ^2\le\frac{1}{\pi^2}\int_0^1\lvert u'\rvert ^2$ により $H^1$ ノルムの2乗を下から押さえるので強圧的である。量子力学のハミルトニアンは下に有界なので、十分大きな定数 $c$ を足した $H+c$ の二次形式が強圧的になる。この2条件のもとで解がただ1つ存在することが Lax–Milgram の定理で保証される（$a$ が対称なら、$a$ 自身を新しい内積とみなして Riesz の表現定理を使えば直ちに従う）。存在の議論はここでは使わず、近似の話に進む。

Galerkin 近似と Galerkin 直交性

$V$ の $n$ 次元部分空間 $V_n=\operatorname{span}\{\phi_1,\dots,\phi_n\}$ を選び、弱形式を $V_n$ の中だけで要求する。

無限次元の微分方程式が、有限個の数 $c_j$ についての代数方程式に置き換わった。強圧性から$\sum\overline{c_i}A_{ij}c_j=a(u_n,u_n)\ge\alpha\lVert u_n\rVert ^2>0$（$u_n\neq0$）なので行列 $A$ は正則で、解は必ずただ1つある。名前は B. G. Galerkin に由来し、工学では有限要素法、量子化学では基底展開として同じ構造が現れる。

もとの方程式と近似の方程式を引き算すると、すべての $v\in V_n$ について

$$a(u-u_n,v)=0\tag{4.3}$$

が成り立つ。これを Galerkin 直交性と呼ぶ。誤差 $u-u_n$ が、$a$ を内積とみなしたとき部分空間 $V_n$ と直交している、という意味である。$a$ が対称なら、$a$ は本当に内積になり（エネルギー内積と呼ぶ）、Galerkin 解は真の解のエネルギー内積に関する直交射影になる。「射影型近似」という名前はここから来ている。

Céa の補題

証明

任意の $v\in V_n$ をとる。$u_n-v\in V_n$ なので Galerkin 直交性 (4.3) から$a(u-u_n,u_n-v)=0$ である。強圧性、この直交性、連続性を順に使うと

$$\alpha\lVert u-u_n\rVert ^2\le a(u-u_n,u-u_n)=a(u-u_n,u-v)+a(u-u_n,v-u_n)=a(u-u_n,u-v)\le M\lVert u-u_n\rVert \lVert u-v\rVert .$$

両辺を $\lVert u-u_n\rVert$ で割り、$v$ について下限をとれば (4.4) を得る。

対称な場合は、エネルギー内積で $u-v=(u-u_n)+(u_n-v)$ と分け、直交性から交差項が消えるので$\lVert u-v\rVert _a^2=\lVert u-u_n\rVert _a^2+\lVert u_n-v\rVert _a^2\ge\lVert u-u_n\rVert _a^2$（Pythagoras の定理）。等号は $v=u_n$ のときに限る。元のノルムへは $\alpha\lVert w\rVert ^2\le\lVert w\rVert _a^2\le M\lVert w\rVert ^2$ で戻せば$\lVert u-u_n\rVert \le\alpha^{-1/2}\lVert u-u_n\rVert _a\le\alpha^{-1/2}\lVert u-v\rVert _a\le\sqrt{M/\alpha}\,\lVert u-v\rVert$ となる。

この分解から、物理の基底選びの直観がどこに対応するかが読み取れる。「原子の近くでは原子軌道に似ているはずだ」「結合の領域には分極関数が要る」といった直観は、すべて右辺の $\inf$ を小さくするための推測である。数学は「$\inf$ が小さければ Galerkin 解は良い」までは保証するが、どういう関数を入れれば $\inf$ が小さくなるかは真の解の形を知らない限り言えない。ここが射影型近似で物理が担う部分である。

節点で厳密に一致するのはこの1次元問題の特殊事情であり、一般には成り立たない。一方で「誤差の導関数が $\mathcal{O}(h)$」は、解が2回微分可能（$u''\in L^2$）でありさえすれば、どんな $f$ でも同じ速さになる。これは後の4.5節で述べる「収束の速さは解の滑らかさで決まる」の最初の例である。