固有値問題への適用：Rayleigh–Ritz 法

有限次元の空間 $V_n$ 上のエルミート形式についても min-max 原理が成り立つ（線型代数の Courant–Fischer の定理。次の定理の証明の中で示す）。それによれば

$$E_k^{(n)}=\min_{\substack{L\subset V_n\\ \dim L=k}}\ \max_{\psi\in L}\frac{q(\psi)}{\lVert \psi\rVert ^2}.$$

右辺の $L$ は $V_n$ の部分空間に限られているが、(4.5) の $L$ は $Q(H)$ の任意の部分空間を動く。同じ量の下限を広い集合でとれば小さくなるか等しいので、$E_k^{(n)}\ge\mu_k$ である。

上の証明と同じく、$V_{n+1}$ の中で min をとる方が $V_n$ の中でとるより小さいか等しい。

$V_{n+1}$ に内積 $\langle \cdot,\,\cdot\rangle$ を入れたまま、二次形式 $q$ を表すエルミート行列を考える（$S$ に関して正規直交化した基底で書けば普通のエルミート行列 $A$ になり、Ritz 値はその固有値である）。

段階1：有限次元の min-max。$A$ の固有値を $\lambda_1\le\dots\le\lambda_m$、正規直交固有ベクトルを $u_1,\dots,u_m$ とする。任意の $k$ 次元部分空間 $L$ は、$m-k+1$ 次元の空間 $W=\operatorname{span}\{u_k,\dots,u_m\}$ と $0$ でないベクトルを共有する（次元の和が $m+1>m$ だから）。その共通のベクトル $\psi=\sum_{j\ge k}a_ju_j$ では$q(\psi)/\lVert \psi\rVert ^2=\sum_{j\ge k}\lambda_j\lvert a_j\rvert ^2/\sum\lvert a_j\rvert ^2\ge\lambda_k$ なので、$\max_{L}\ge\lambda_k$。一方 $L=\operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}$ では $\max=\lambda_k$。よって $\lambda_k=\min_{\dim L=k}\max_{\psi\in L}q(\psi)/\lVert \psi\rVert ^2$。段階2：左の不等式 $E_k^{(n+1)}\le E_k^{(n)}$。min-max 形で、$V_n$ の $k$ 次元部分空間は $V_{n+1}$ の $k$ 次元部分空間でもあるので、$V_{n+1}$ での min の方が小さいか等しい（系4.7と同じ）。

段階3：右の不等式 $E_k^{(n)}\le E_{k+1}^{(n+1)}$。$V_{n+1}$ の任意の $(k+1)$ 次元部分空間 $L$ をとる。$L$ と $V_n$ はともに $V_{n+1}$（次元 $n+1$）の部分空間なので、$\dim(L\cap V_n)\ge(k+1)+n-(n+1)=k$ である。そこで $L\cap V_n$ の中に $k$ 次元部分空間 $L'$ をとると、$L'\subset L$ なので$\max_{\psi\in L}R(\psi)\ge\max_{\psi\in L'}R(\psi)$（$R$ は Rayleigh 商）、そして $L'$ は $V_n$ の $k$ 次元部分空間なので段階1の min-max から $\max_{\psi\in L'}R(\psi)\ge E_k^{(n)}$ である。$L$ について min をとれば、左辺は$V_{n+1}$ での min-max、すなわち $E_{k+1}^{(n+1)}$ になり、$E_{k+1}^{(n+1)}\ge E_k^{(n)}$ を得る。

$\mu_1,\dots,\mu_k$ に属する正規直交固有関数 $\psi_1,\dots,\psi_k$ をとる。稠密性から、各 $\psi_j$ に $\lVert \cdot\rVert _q$ で収束する $v_j^{(n)}\in V_n$ がとれる。$n$ が十分大きければ $v_1^{(n)},\dots,v_k^{(n)}$ は一次独立で、その張る $k$ 次元空間 $L_n\subset V_n$ を min-max に入れると $E_k^{(n)}\le\max_{\psi\in L_n}R(\psi)$ である。$\psi=\sum a_jv_j^{(n)}$ の Rayleigh 商は、分子 $\sum\overline{a_i}a_jq(v_i^{(n)},v_j^{(n)})$ も分母も$q$ ノルムでの収束により $\sum\lvert a_j\rvert ^2\mu_j$ と $\sum\lvert a_j\rvert ^2$ に一様に（$a$ の単位球上で）近づくので、$\max_{L_n}R\to\mu_k$。上界性 $E_k^{(n)}\ge\mu_k$ と合わせて $E_k^{(n)}\to\mu_k$ を得る。