変分 $\delta$ と微分 $\mathrm{d}$

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第3章 §1.3.3　★★★ $\delta$ を「経路の族を実数1つで微分すること」と定義すると、$\delta$ と $\mathrm{d}$ の違いと入れ替えの規則がはっきりする

許される変分の向き

端の値を決めた変分問題では、比べる経路はすべて同じ端を通る。経路 $q$ をずらす向きには、

$$\eta(t_1)=\eta(t_2)=0\tag{1.3.7}$$

を満たす滑らかな関数 $\eta(t)$ を使い、これを許される向きと呼ぶ。$q+\epsilon\eta$ は、どんな実数 $\epsilon$ についても $q$ と同じ端を通る。端を固定しない問題では $\eta$ の端の値を自由にし、そのとき現れる端の項を扱う必要がある。それは 第1部第4章 の主題である。

第1変分

式 (1.3.9) は、多変数の方向微分 (1.3.1) の $x$ を関数 $q$ に、向き $h$ を関数 $\eta$ に置き換えたものである。$\epsilon$ を掛けておくと、$F[q+\epsilon\eta]-F[q]$ の $\epsilon$ の1次の部分がちょうど $\delta F$ になり、

$$F[q+\epsilon\eta]=F[q]+\delta F+\mathcal{O}(\epsilon^2)$$

が成り立つ。$\delta F$ は $\epsilon$ に比例し、$\eta$ について線型である（$\eta$ を2倍すると $\delta F$ も2倍になる）。

$\delta$ と $\mathrm{d}$ はどこが違うか

経路の族 (1.3.8) は、2つの実数 $t$ と $\epsilon$ の関数 $q_\epsilon(t)=Q(t,\epsilon)$ とみなせる。微分 $\mathrm{d}$ と変分 $\delta$ は、この2変数関数の別々の向きの微分である（図 1.3.2）。

• 微分 $\mathrm{d} q=\dot q\,\mathrm{d} t$ は、$\epsilon$ を止めて $t$ を動かしたときの変化で、1本の経路に沿った変化を表す。
• 変分 $\delta q=\epsilon\,\partial Q/\partial\epsilon|_{\epsilon=0}=\epsilon\eta(t)$ は、$t$ を止めて $\epsilon$ を動かしたときの変化で、同じ時刻での別の経路への移り変わりを表す。

$\delta$ は時刻 $t$ を動かさない。この本の第1部では、経路の時刻をずらす変分（$\delta t\neq0$）は使わない。

この見方から、変分の計算で使う2つの規則がすぐに出る。

$$\delta\dot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\delta q,\qquad \delta\int_{t_1}^{t_2}G\,\mathrm{d} t=\int_{t_1}^{t_2}\delta G\,\mathrm{d} t .\tag{1.3.10}$$

1つ目は、$Q(t,\epsilon)$ の混合偏微分 $\partial^2Q/\partial\epsilon\,\partial t=\partial^2Q/\partial t\,\partial\epsilon$ が等しいことを言い換えたものである（$Q=q+\epsilon\eta$ では両辺とも $\dot\eta$ になる）。2つ目は、積分の範囲 $[t_1,t_2]$ が $\epsilon$ によらないので、$\epsilon$ についての微分を積分の中へ入れてよいことによる。どちらも「$\delta$ は $t$ を止めた $\epsilon$ 微分」という定義から出ているので、時刻をずらす変分を扱う場面では成り立たないことがある。