有限個の変数に直す：離散化して見る汎関数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第3章 §1.3.2　★★ 汎関数を多変数関数として見ると、汎関数微分は「偏微分を刻み幅で割ったもの」になる

経路を折れ線で表す

区間 $[t_1,t_2]$ を $N$ 等分し、刻みを $\Delta t=(t_2-t_1)/N$、分点を $t_k=t_1+k\Delta t$（$k=0,1,\dots,N$）とする。経路 $q(t)$ の代わりに分点での値 $q_k=q(t_k)$ だけを持ち、分点の間を線分でつなぐ（図 1.3.1）。端の値 $q_0=q(t_1)$ と $q_N=q(t_2)$ は固定する。動かせるのは内側の $q_1,\dots,q_{N-1}$ の $N-1$ 個である。折れ線の上では、$k$ 番目の小区間で速度が $v_k=(q_{k+1}-q_k)/\Delta t$ という定数になる。積分を各小区間の左端の値で近似した和に置き換えると、汎関数 $S[q]=\int L(q,\dot q,t)\,\mathrm{d} t$ は $N-1$ 変数の普通の関数

$$S_N(q_1,\dots,q_{N-1})=\sum_{k=0}^{N-1}L\Bigl(q_k,\ \frac{q_{k+1}-q_k}{\Delta t},\ t_k\Bigr)\Delta t\tag{1.3.4}$$

になる。$S_N$ は多変数関数なので、偏微分は普通に計算できる。

偏微分を刻み幅で割る

$q_k$（$1\le k\le N-1$）は、和 (1.3.4) のうち $k-1$ 番目と $k$ 番目の2つの項にしか現れない。$k$ 番目の項には $q_k$ が第1引数と速度 $v_k=(q_{k+1}-q_k)/\Delta t$ の両方に入り、$k-1$ 番目の項には速度 $v_{k-1}=(q_k-q_{k-1})/\Delta t$ にだけ入る。$L$ の第1引数・第2引数についての偏微分を $L_q$, $L_v$ と書くと、連鎖律から

$$\frac{\partial S_N}{\partial q_k}=\Delta t\left[L_q(q_k,v_k,t_k)-\frac{L_v(q_k,v_k,t_k)-L_v(q_{k-1},v_{k-1},t_{k-1})}{\Delta t}\right]\tag{1.3.5}$$

を得る。第2項の分母の $\Delta t$ は、速度 $v$ が $q_k$ を $1/\Delta t$ の重みで含むことから出る。

1つの分点の値を動かしても影響を受けるのは長さ $2\Delta t$ の区間だけなので、式 (1.3.5) の右辺は全体に $\Delta t$ が掛かり、$\Delta t\to0$ で偏微分そのものは $0$ に近づく。偏微分を $\Delta t$ で割ったものは意味のある極限を持ち、角括弧の中は $\Delta t\to0$ で

$$\frac{1}{\Delta t}\frac{\partial S_N}{\partial q_k}\ \longrightarrow\ \frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\qquad(t_k\to t\text{ を固定して }N\to\infty)\tag{1.3.6}$$

に近づく（第2項の差分商が $t$ についての微分になる）。右辺が、次の次の節で定義する汎関数微分 $\delta S/\delta q(t)$ である。多変数関数の勾配の成分 $\partial S_N/\partial q_k$ を、成分1つに対応する区間の長さ $\Delta t$ で割ったものの極限、と覚えておけばよい。

具体的に $L=\frac12\dot q^2-\frac12\omega^2q^2$ とすると、$L_q=-\omega^2q$, $L_v=v$ なので

$$\frac{1}{\Delta t}\frac{\partial S_N}{\partial q_k}=-\frac{q_{k+1}-2q_k+q_{k-1}}{\Delta t^2}-\omega^2q_k$$

となる。第1項は2階微分 $\ddot q$ の中心差分で、誤差は $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ である（$q(t)=\sin2t+t^2$, $\omega=1.3$, $t=0.5$ で数値を取ると、刻みを半分にするたびに誤差が約 $1/4$ になる）。したがってこの $L$ では、極限 (1.3.6) は $-\ddot q-\omega^2q$ になる。