第一積分：方程式の階数を1つ下げる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.2　★★★ $L$ が $q_j$ を含まなければ $\partial L/\partial\dot q_j$ が、$t$ を含まなければ $h=\sum_i\dot q_i\partial L/\partial\dot q_i-L$ が一定。全微分を足しても方程式は変わらない

2階の微分方程式を解くには、普通は2回積分する必要がある。解に沿って値が一定になる $q,\dot q,t$ の関数が1つ見つかれば、それを「定数 $=$ その関数」とおくことで、方程式を1階に下げられる。この一定になる関数を第一積分と呼ぶ。Euler–Lagrange 方程式では、$L$ の形を見るだけで第一積分が2種類見つかる。

$L$ がある座標を含まないとき

$L$ が $q_j$ そのものを含まず、$\dot q_j$ だけを含むとき、$\partial L/\partial q_j=0$ なので、$j$ 番目の Euler–Lagrange 方程式は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}=0,\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}=\text{一定}\tag{1.4.8}$$

になる。$L$ に現れない座標 $q_j$ を循環座標と呼ぶ。$\partial L/\partial\dot q_j$ は後の章で正準運動量 $p_j$ と名付ける量で、循環座標に対応する運動量は保存する。「$L$ が $q_j$ を含まない」とは「$q_j$ を一斉に定数だけずらしても $L$ が変わらない」ということで、変換で変わらないことと保存量の関係は第1部第10章（Noether の定理）で一般の形にする。

$L$ が時刻を陽に含まないとき

$h$ をエネルギー関数と呼ぶ。$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ なら $h=m\dot q^2-L=\frac12m\dot q^2+V(q)$ で、力学的エネルギーになる。$h$ は $q,\dot q$ の関数で、これを $q$ と $p=\partial L/\partial\dot q$ の関数に書き直したものが 第1部第8章 の Hamiltonian $H$ である（書き直しの操作は 第1部第7章 の Legendre 変換）。1変数の場合、$h=\dot q\,\partial L/\partial\dot q-L=C$ は $q$ と $\dot q$ だけの式（1階の微分方程式）で、変分法の教科書では Beltrami の恒等式とも呼ばれる。1.4.4節と1.4.5節の2つの問題は、どちらも独立変数を陽に含まない $L$ なので、この第一積分から解く。

全微分を足しても方程式は変わらない

直接の計算でも確かめられる。足した項 $\Lambda_q\dot q+\Lambda_t$（1変数で書き、$\Lambda_q=\partial\Lambda/\partial q$ などとした）の Euler–Lagrange の左辺は$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda_q-(\Lambda_{qq}\dot q+\Lambda_{qt})=(\Lambda_{qq}\dot q+\Lambda_{qt})-(\Lambda_{qq}\dot q+\Lambda_{qt})=0$ である。1つの方程式を導く $L$ は1つに決まらず、全微分だけの不定性がある。電磁場中の荷電粒子でゲージ変換が $L$ に全微分を足す操作になること（第2部第2章）と、Noether の定理で「$L$ が全微分だけ変わる変換」にも保存量が対応すること（第1部第10章）は、この性質を使う。