懸垂線：回転面の面積と吊るした鎖

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.4　★★ 独立変数を含まない $L$ の第一積分から $\cosh$ のグラフが出る。停留する曲線が2本あったり、1本もなかったりする

2つの輪の間の回転面

$x$ 軸を軸とする2つの同じ半径 $R$ の輪を $x=-h$ と $x=h$ に置き、その間に回転面を張る。回転面は、曲線 $y(x)>0$（$-h\le x\le h$、$y(\pm h)=R$）を $x$ 軸のまわりに回して作る。曲線の線素 $\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$ を半径 $y$ の円周 $2\pi y$ で回すので、面積は

$$A[y]=2\pi\int_{-h}^{h}y\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x\tag{1.4.13}$$

である。石けん膜は表面張力により面積を小さくする形をとるので、この汎関数の停留点が膜の形の候補になる。この節では独立変数を $t$ でなく $x$ と書き、$\dot q$ にあたるものを $y'$ と書く。

$L=y\sqrt{1+y'^2}$（定数 $2\pi$ は停留点に関係しないので外した）は $x$ を陽に含まないので、エネルギー関数が一定である。

$$h_{\mathrm L}\coloneqq y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L=\frac{yy'^2}{\sqrt{1+y'^2}}-y\sqrt{1+y'^2}=-\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}} .$$

（輪の位置の $h$ と区別するため、この節ではエネルギー関数に添字を付けた。）この値を $-a$（$a>0$）とおくと、$y=a\sqrt{1+y'^2}$、すなわち

$$y'^2=\frac{y^2}{a^2}-1\tag{1.4.14}$$

という1階の方程式になる。$y=a\cosh\bigl((x-b)/a\bigr)$ を入れると $y'=\sinh\bigl((x-b)/a\bigr)$ で、$\cosh^2-\sinh^2=1$ から式 (1.4.14) を満たす。$y\ge a$ の範囲で式 (1.4.14) を変数分離すると、$y'=0$ となる定数解 $y=a$ を除けば一般解はこの形に限られる。このグラフを懸垂線（catenary）と呼び、回してできる面を懸垂面と呼ぶ。

停留する曲線の数

左右対称の配置では $b=0$ で、端の条件 $y(\pm h)=R$ は

$$R=a\cosh\frac ha\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac hR=\frac{u}{\cosh u}\quad\Bigl(u\coloneqq\frac ha\Bigr)\tag{1.4.15}$$

になる。右の式の右辺 $u/\cosh u$ は $u=0$ で $0$、$u\to\infty$ でも $0$ に近づき、途中で最大値をとる（図 1.4.2）。最大になるのは $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} u}(u/\cosh u)=(1-u\tanh u)/\cosh u=0$、すなわち $u\tanh u=1$ のときで、数値で解くと $u_*\approx1.200$、最大値は $u_*/\cosh u_*\approx0.663$ である。したがって、輪の間隔の半分 $h$ と半径 $R$ の比 $h/R$ によって、停留する懸垂線の数が変わる。

• $h/R<0.663$ なら $u$ の解が2つあり、停留する曲線が2本ある（浅い懸垂線と深い懸垂線）。
• $h/R>0.663$ なら解がなく、滑らかな回転面の中に停留点がない。

後者のとき、面積の下限に近づく形は、2つの輪をそれぞれ平らな円板でふさぎ、その間を細い線でつないだものになる（面積 $2\pi R^2$）。これは滑らかな関数 $y(x)$ のグラフの回転面ではないので、この節の汎関数の停留点としては出てこない。実際の石けん膜では、輪を引き離していくと、ある間隔で膜が切れて2枚の円板に分かれる。変分問題の解は「存在すれば Euler–Lagrange 方程式を満たす」だけで、存在するかどうかは別に調べる必要がある。

吊るした鎖

長さ $\ell$ の一様な鎖の両端を吊るすと、鎖は位置エネルギー $\rho g\int y\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$（$\rho$ は単位の長さあたりの質量、$y$ は上向き）を最小にする形をとる。被積分関数は回転面の面積と同じ形だが、鎖の問題には「長さ $\int\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x=\ell$ は一定」という拘束が付く。拘束を付けないと、鎖を伸ばしてどこまでも下へ垂らせば位置エネルギーはいくらでも下がる。拘束のある変分問題は 第1部第6章 で未定乗数 $\lambda$ を使って扱い、結果は $\int(y-\lambda)\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$ の停留問題に帰着する。$y-\lambda$ を新しい $y$ とみなせば回転面と同じ問題になるので、鎖の形も $y=\lambda+a\cosh\bigl((x-b)/a\bigr)$ の懸垂線である。$\lambda$, $a$, $b$ の3つの定数は、両端の位置2つと長さ $\ell$ の3条件で決まる。