最速降下線

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.5　★★ 降下時間の汎関数も独立変数を含まない。第一積分 $y(1+y'^2)=\text{一定}$ を径数で解くとサイクロイドが出る

降下時間の汎関数

鉛直な平面の中で、原点から静かに放した玉が、摩擦なしに曲線 $y(x)$ に沿って滑り、点 $(X,Y)$ に着くまでの時間を最も短くする曲線を探す。この節では $y$ を下向きにとる。重力加速度を $g$ とし、玉の速さはエネルギー保存から $v=\sqrt{2gy}$ で与えられるものとする（エネルギー保存が成り立つ理由は力学の章で扱い、ここでは前提として使う）。曲線の線素 $\mathrm{d} s=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$ を速さ $v$ で進む時間は $\mathrm{d} s/v$ なので、降下時間は

$$\mathcal T[y]=\int_0^X\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,\mathrm{d} x,\qquad y(0)=0,\quad y(X)=Y\tag{1.4.16}$$

である。被積分関数は $x=0$ で $y=0$ のため発散するが、$y$ が $x$ の $1/2$ 乗より速く $0$ に近づかない限り積分は有限である（直線 $y=(Y/X)x$ でも有限）。

第一積分からサイクロイドへ

$L=\sqrt{1+y'^2}/\sqrt{2gy}$ は $x$ を陽に含まないので、エネルギー関数が一定である。

$$y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L=\frac{y'^2}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}=-\frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'^2}} .$$

この値を $-1/\sqrt{4gr}$（$r>0$ は長さの次元を持つ定数）とおくと

$$y\,(1+y'^2)=2r\tag{1.4.17}$$

を得る。この1階の方程式は、傾き $y'$ を径数で表すと解ける。$y'=\cot(\theta/2)$（$0<\theta<2\pi$）とおくと、$1+y'^2=1/\sin^2(\theta/2)$ なので

$$y=2r\sin^2\frac\theta2=r(1-\cos\theta).$$

$x$ は $\mathrm{d} x=\mathrm{d} y/y'$ から求める。$\mathrm{d} y=r\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2r\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\,\mathrm{d}\theta$ を $\cot(\theta/2)$ で割ると $\mathrm{d} x=2r\sin^2\frac\theta2\,\mathrm{d}\theta=r(1-\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta$ で、$x(0)=0$ から

$$x=r(\theta-\sin\theta),\qquad y=r(1-\cos\theta)\tag{1.4.18}$$

を得る。これは半径 $r$ の円が $x$ 軸の下側に接して転がるとき、円周上の1点が描く曲線で、サイクロイドと呼ぶ。$\theta=0$ で $y'=\cot0$ が発散するので、玉は原点から鉛直に落ち始める。

時間も径数で書ける。線素は $\mathrm{d} s=\sqrt{\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2}=r\sqrt{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\,\mathrm{d}\theta=2r\sin\frac\theta2\,\mathrm{d}\theta$、速さは $v=\sqrt{2gr(1-\cos\theta)}=2\sqrt{gr}\sin\frac\theta2$ なので、$\mathrm{d} s/v=\sqrt{r/g}\,\mathrm{d}\theta$ となり

$$\mathcal T=\theta_{\mathrm B}\sqrt{\frac rg}\tag{1.4.19}$$

である。$\theta_{\mathrm B}$ は終点 $(X,Y)$ に対応する径数の値で、$r$ と $\theta_{\mathrm B}$ は2本の式 $X=r(\theta_{\mathrm B}-\sin\theta_{\mathrm B})$, $Y=r(1-\cos\theta_{\mathrm B})$ から決まる。比をとると $X/Y=(\theta_{\mathrm B}-\sin\theta_{\mathrm B})/(1-\cos\theta_{\mathrm B})$ で、右辺は $\theta_{\mathrm B}$ について単調に増えるので $\theta_{\mathrm B}$ が1つに決まる。$X/Y>\pi/2$ のときは $\theta_{\mathrm B}>\pi$ となり、最速の曲線はいったん終点より低い所まで下りてから上って終点に着く。