授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.6　★★ Newton の運動方程式・力学的エネルギー保存・Snell の法則・鎖の力の釣り合い・弦の自由端は、Euler–Lagrange 方程式とその第一積分・自然境界条件の特別な場合

Newton の運動方程式とエネルギー保存

解析力学を使わない力学の授業では、1次元の粒子の運動を $m\ddot q=-V'(q)$ と書き、両辺に $\dot q$ を掛けて積分して $\frac12m\dot q^2+V(q)=E$（一定）を導く。$L=\frac12m\dot q^2-V(q)$ とおくと、$\partial L/\partial q=-V'(q)$, $\partial L/\partial\dot q=m\dot q$ で、Euler–Lagrange 方程式 (1.4.5) は $m\ddot q+V'(q)=0$ となり、Newton の運動方程式と同じ式になる。エネルギー関数は $h=\frac12m\dot q^2+V(q)$ で、命題 1.4.2 がエネルギー保存にあたる。「両辺に $\dot q$ を掛けて積分する」という手順は、命題の証明で $\sum_i\dot q_i\times(\text{Euler--Lagrange の左辺})$ をつくった手順そのものである。エネルギー保存が成り立つ条件が「$V$ が時刻によらない」であることは、命題の言葉では「$L$ が $t$ を陽に含まない」にあたる。この $L$ をなぜ選ぶのかは 第1部第5章 で扱う。

Snell の法則

光学では、屈折率 $n_1$ の媒質から $n_2$ の媒質へ入る光線について、境界面の法線から測った角を $\alpha_1,\alpha_2$ として $n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\alpha_2$ を習う。屈折率が高さ $y$ だけによる層状の媒質で、光が通る時間（$c$ を掛けて光路長）$\int n(y)\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d} x$ を停留させる経路を考える（Fermat の原理。この原理は 第2部第10章 で扱う）。$L=n(y)\sqrt{1+y'^2}$ は $x$ を陽に含まないので、エネルギー関数

$$y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L=-\frac{n(y)}{\sqrt{1+y'^2}}$$

が一定である。光線が鉛直方向（層の法線、$y$ 軸の向き）となす角を $\alpha$ とすると $\sin\alpha=\mathrm{d} x/\mathrm{d} s=1/\sqrt{1+y'^2}$ なので、第一積分は

$$n(y)\sin\alpha=\text{一定}\tag{1.4.20}$$

と書ける。これが層状の媒質での Snell の法則である。前の節の最速降下線の第一積分 (1.4.17) も、$\sin\alpha=1/\sqrt{1+y'^2}=\sqrt{y/(2r)}$ と書き直すと$\sin\alpha/\sqrt{y}=\text{一定}$、すなわち $\sin\alpha/v=\text{一定}$（$v=\sqrt{2gy}$）である。屈折率が速さに反比例する（$n\propto1/v$）ことを使えば、最速降下線は「速さが $\sqrt{2gy}$ の媒質の中の光線」と同じ方程式に従う。

鎖の力の釣り合い

吊るした鎖の形を力学の授業で求めるときは、鎖の微小部分にかかる力を釣り合わせる。張力の水平成分 $T_{\mathrm h}$ はどこでも同じで、鉛直成分 $T_{\mathrm h}y'$ の変化が微小部分の重さ $\rho g\,\mathrm{d} s$ と釣り合うので

$$T_{\mathrm h}\,y''=\rho g\sqrt{1+y'^2}\tag{1.4.21}$$

を得る（$y$ は上向き）。$y=\lambda+a\cosh(x/a)$ を入れると $y''=\cosh(x/a)/a$, $\sqrt{1+y'^2}=\cosh(x/a)$ なので、$a=T_{\mathrm h}/(\rho g)$ のとき式 (1.4.21) を満たす。力の釣り合いからは2階の方程式 (1.4.21) が直接出て、変分法からは第一積分 $(y-\lambda)/\sqrt{1+y'^2}=a$ が出る。後者を $x$ で微分して整理すると前者に戻るので、2つの方法で得る曲線は同じである。変分法の定数 $a$ は、力学の言葉では水平張力を単位の長さの重さで割った長さである。

弦の自由端

張力 $T_{\mathrm s}$ で張った弦の静的な変位 $y(x)$（$0\le x\le\ell$）を考える。右端 $x=\ell$ は、鉛直な棒に通した軽い輪に結んであり、摩擦なしに上下に動けるとする。力の釣り合いで考える授業の形では、「輪は質量がないので、輪にかかる鉛直方向の力 $-T_{\mathrm s}y'(\ell)$ は $0$ でなければならない」として、境界条件 $y'(\ell)=0$ を課す。変分法では、弦の位置エネルギー $\int_0^\ell\bigl(\frac{T_{\mathrm s}}{2}y'^2-f(x)y\bigr)\mathrm{d} x$（$f$ は単位の長さあたりの外力）の停留点を、右端の値を自由にして探す。自然境界条件 (1.4.11) は $\partial L/\partial y'=T_{\mathrm s}y'(\ell)=0$ で、力の釣り合いで課した条件と一致する。輪を棒にばね定数 $k$ のばねでつないだ場合は、ばねの位置エネルギー $\frac k2y(\ell)^2$ が端の費用 $\Psi$ になり、条件 (1.4.12) は $T_{\mathrm s}y'(\ell)+ky(\ell)=0$ となる。これも、輪にかかる張力の鉛直成分とばねの力の釣り合いと同じ式である。