端を固定しない変分と自然境界条件

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第4章 §1.4.3　★★★ 端の値を自由にすると端の項が消えずに残り、$\partial L/\partial\dot q=0$ が境界条件として出てくる

端の項を残す

前の章とこの章のここまでは、端の値 $q(t_1)$, $q(t_2)$ を決めた問題だけを扱い、向き $\eta$ を端で $0$ になる関数に限ってきた。端の値も含めて最もよいものを探す問題では、端での $\eta$ の値も自由に選べる。このとき第1変分 (1.4.3) の端の項は消えない。

$$\delta S=\epsilon\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Big|_{t_2}\eta(t_2)-\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Big|_{t_1}\eta(t_1)\Bigr)+\epsilon\int_{t_1}^{t_2}\frac{\delta S}{\delta q(t)}\eta\,\mathrm{d} t .$$

停留の条件を2段階で調べる。まず、端で $0$ になる向きも、自由な端の問題で許される向きに含まれる。それらだけを使うと端の項は $0$ になり、基本補題から内部で Euler–Lagrange 方程式が成り立つ。次に、Euler–Lagrange 方程式が成り立っているので積分の項は $0$ である。残った端の項が、端の値が自由な $\eta(t_1)$, $\eta(t_2)$ のどの値についても $0$ にならなければならない。

式 (1.4.11) を自然境界条件と呼ぶ。「自然」と呼ぶのは、問題の設定として課した条件ではなく、変分の計算から出てくる条件だからである。2階の方程式には条件が2つ要るので、片方の端の値を手放した分を、自然境界条件1つがちょうど埋めている。固定した端では値が条件になり、自由な端では $\partial L/\partial\dot q$ が条件になる。どちらの端でもどちらか1つが課されるので、条件の数は端の値を決めたときと同じく2つである。自由度が複数あるときは、自由な成分ごとに $\partial L/\partial\dot q_i|_{t_2}=0$ が1本ずつ加わる。

端に費用がある場合

端の値が自由でも、端の値に応じて $\Psi(q(t_2))$ という数が汎関数に加わる問題もある。

$$F[q]=\int_{t_1}^{t_2}L\,\mathrm{d} t+\Psi\bigl(q(t_2)\bigr)$$

の第1変分には $\Psi'(q(t_2))\,\epsilon\eta(t_2)$ が加わるので、自由な端の条件は

$$\frac{\partial L}{\partial \dot q}\Big|_{t=t_2}+\Psi'\bigl(q(t_2)\bigr)=0\tag{1.4.12}$$

に変わる。たとえば $\Psi=\frac k2q(t_2)^2$（$k>0$）は「端の値を $0$ から離すほど費用がかかる」という項で、$k\to0$ で自由な端、$k\to\infty$ で端の値を $0$ に固定した問題に近づく（図 1.4.1）。

図 1.4.1　汎関数 $\int_0^1(\frac12\dot q^2+q)\,\mathrm{d} t+\frac k2q(1)^2$ の停留点（$q(0)=0$）。どれも厳密解なので点線で描いた。内部ではどれも $\ddot q=1$ を満たす放物線で、右端の条件 $\dot q(1)+kq(1)=0$ だけが違う。$k=0$ では右端で傾きが $0$（自然境界条件）になり、$k$ を大きくすると右端の値が $0$ に引き寄せられる