この章で取り出すもの：光線と屈折率の面

光学と量子エレクトロニクス　第2章 §2.1　★★ 場のモードは取り出さず光線だけを残す。物質は区分的に一様な屈折率と球面、結合は面での屈折と反射。道具は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の結果だけ

この巻は光を「モード」と「2準位系」で読む。ただし最初の数章では、光をモードに分ける前の段階、つまり波長を $0$ に送った光線の光学を扱う。光線の原理そのもの、すなわち Fermat の原理が光路長を作用とする変分原理であること、光線の Hamiltonian が $H=-\sqrt{n^2-p_x^2-p_y^2}$ であること、近軸の光線行列（ABCD 行列）が行列式 $1$ の線形正準変換であること、エタンデュの保存が Liouville の定理であることは、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章ですでに示した。この章はその結果を出発点にとり、導き直さない。

この章で組み立てるのは、光学の授業と実際のレンズ設計で毎日使う道具である。第一に、どれほど複雑なレンズ系でも、近軸では2つの主面と2つの焦点（基点）だけで結像が決まること。これは系の ABCD 行列の4つの成分から機械的に読み取ることができる。第二に、物体と像の位置を結ぶ Newton の式と倍率。焦点面から焦点面への行列は、相空間 $(x,p)$ の4分の1回転になる。第三に、絞りと瞳、F 値と開口数。2本の光線から作る Lagrange の不変量は、行列式が $1$ であることの言い換えで、視野と明るさの上限を決める。第四に、近軸を使わない光線追跡。球面1つで光線を厳密に曲げると、光軸から離れた光線ほど手前で軸を横切る。このずれが高さの2乗から始まることを数値で確かめ、次の第3章（収差）へ渡す。

モード・物質・結合の3つの選び方

この巻の各章は「どの場のモードを取り出し、物質をどうモデル化し、どう結合させ、何を近似したか」で読む（第1章の表）。この章の選び方は次のとおりである。

場のモードは取り出さない。波長 $\lambda$ を、レンズの大きさや曲率半径のような構造の長さに比べて $0$ に送り、波面に直交する曲線である光線だけを残す。干渉と回折、つまり波の重ね合わせで初めて分かることはすべて捨てる。その代わりに、光線1本は相空間の1点 $(x,y,p_x,p_y)$ で表され、光学系はこの点を動かす写像になる。

物質のモデルは屈折率 $n$ だけである。この章では、ガラスや空気のように屈折率が一様な領域が、球面か平面の境界で区切られている系を扱う。屈折率の波長依存性（分散）は第3部で Lorentz 振動子から出すので、ここでは1つの波長についての定数とみなす。

結合は境界面での屈折と反射である。面に沿った並進の対称性から、面に平行な運動量 $n\sin\theta$ が保存し（Snell の法則）、これが光線と物質の唯一のやりとりになる。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章から引く結果

光が進む向きを $z$ 軸にとり、$z$ を時刻とみなすと、光線の正準変数は横の位置 $\bm{x}_\perp=(x,y)$ と横の運動量 $(p_x,p_y)=n\,(\mathrm{d} x/\mathrm{d} s,\mathrm{d} y/\mathrm{d} s)$ である。光線が光軸と角 $\theta$ をなすとき $p=n\sin\theta$ で、近軸では $p\approx n\theta$（屈折率を掛けた角）になる。この節から先は、光軸を含む1つの平面（子午面）の中の光線だけを考え、$x$ と $p=p_x$ の組で表す。引く結果は次の4つである。

伝搬の行列で距離 $d$ が $d/n$ の形でしか入らないことに注意する。$d/n$ を換算距離と呼ぶ。屈折率 $n$ の中の距離 $d$ は、近軸の光線の幾何にとって空気中の距離 $d/n$ と区別がつかない。例えば、厚さ $t$ の平行平板は、入口の平面（行列は単位行列）・厚さ $t$ の伝搬・出口の平面を掛けて $T(t)=\bigl(\begin{smallmatrix}1&t/n\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ になり、空気の厚さ $t/n$ と同じ働きをする。平板を入れると光の束が集まる点は、平板が無い場合より $t-t/n$ だけ奥へずれる。

反射は折り返した光路で屈折と同じに扱う

鏡で反射した光は $z$ の負の向きに戻る。行列の計算では、反射のたびに光路を鏡のところで折り返して、光が $z$ の正の向きに進み続けると考える（展開した光路）。鏡の手前から見て凹んだ鏡（凹面鏡）の曲率半径の大きさを $R>0$、凸面鏡では $R<0$ とする。高さ $x$ の点で鏡の法線は光軸に対して $x/R$ だけ傾いているので、法線から測った入射角は $\theta_1+x/R$ で、反射ではこの角の向きが逆になる。展開した光路で測った反射後の角は$\theta_2=\theta_1-2x/R$ になり、空気中では

$$M_{\mathrm{mirror}}=\begin{pmatrix}1&0\\-2/R&1\end{pmatrix}\tag{2.1}$$

である。凹面鏡は焦点距離 $R/2$ の薄いレンズと同じ行列を持つ。反射のあとで光が戻る向きは展開したときに失われるので、実際の位置へ戻すときに折り返し直す。