当てる道具：系の行列から基点を読む

光学と量子エレクトロニクス　第2章 §2.2　★★★ どれほど複雑な近軸の系も、主面から主面への行列は薄いレンズ1枚と同じ。焦点・主点・節点は ABCD の4成分から決まる

屈折力と焦点

入口の基準面（屈折率 $n_1$ の中）から出口の基準面（屈折率 $n_2$ の中）までの系の行列を $M=\bigl(\begin{smallmatrix}A&B\\mathbb{C}&D\end{smallmatrix}\bigr)$、$AD-BC=1$ とする。光軸に平行に高さ $x_1$ で入った光線（$p_1=0$）は、出口で $x_2=Ax_1$, $p_2=Cx_1$ になる。$C\neq0$ なら、出口の運動量が高さに比例するので、光線はどれも同じ1点で光軸を横切る。

$$\Phi\coloneqq-C\tag{2.2}$$

を系の屈折力と呼ぶ。空気中の薄いレンズでは $\Phi=1/f$ で、単位 $\mathrm{m^{-1}}$ をディオプトリーと呼ぶ。

出口から距離 $z$ 進んだ光線の高さは $x_2+(z/n_2)p_2=(A-z\Phi/n_2)x_1$ で、これが $0$ になる

$$z_{\mathrm F'}=\frac{n_2A}{\Phi}\tag{2.3}$$

に後ろの焦点 $\mathrm F'$ がある。$z_{\mathrm F'}$ を後側焦点距離（出口の面から測った焦点の位置）と呼ぶ。同じように、入口の面の前 $z_{\mathrm F}$ の光軸上の点から出た光線は、入口で $x_1=(z_{\mathrm F}/n_1)p_1$ を持ち、出口で $p_2=(Cz_{\mathrm F}/n_1+D)p_1$ になる。これが $0$、つまり光線が平行に出るのは

$$z_{\mathrm F}=\frac{n_1D}{\Phi}\tag{2.4}$$

のときで、ここが前の焦点 $\mathrm F$ である。

主面：薄いレンズに戻す2枚の面

焦点の位置だけでは、系を薄いレンズに置き換えることはできない。光の束が集まる位置と、集まるときの角の両方を合わせるには、もう1組の面が要る。

証明

$C=-\Phi$ と $AD-BC=1$ から $B=-(AD-1)/\Phi$ である。$M\,T_{n_1}(z_{\mathrm H})$ は $T_{n_1}(z_{\mathrm H})=\bigl(\begin{smallmatrix}1&(D-1)/\Phi\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ を右から掛けて

$$M\,T_{n_1}(z_{\mathrm H})=\begin{pmatrix}A&A(D-1)/\Phi+B\\-\Phi&-(D-1)+D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&(1-A)/\Phi\\-\Phi&1\end{pmatrix}.$$

左から $T_{n_2}(z_{\mathrm H'})=\bigl(\begin{smallmatrix}1&(A-1)/\Phi\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ を掛けると、1行目は $\bigl(A-(A-1),\ (1-A)/\Phi+(A-1)/\Phi\bigr)=(1,0)$ になり、2行目は変わらない。

主面から主面への行列 (2.6) から、2つのことが分かる。1行目が $(1,0)$ なので、$\mathrm H$ を高さ $x$ で通った光線は $\mathrm H'$ を同じ高さ $x$ で通る（主面は倍率 $+1$ の共役面）。2行目は薄いレンズそのものなので、主面の間を「厚さの無い1枚のレンズ」とみなしてよい。焦点は主面から $f=z_{\mathrm F}-z_{\mathrm H}=n_1/\Phi$（前）と $f'=z_{\mathrm F'}-z_{\mathrm H'}=n_2/\Phi$（後ろ）の所にある。$f$, $f'$ を前側と後側の焦点距離と呼ぶ。両側が同じ媒質なら $f=f'$ で、水中を見るカメラのように両側の屈折率が違うと $f'/f=n_2/n_1$ になる（図 2.1）。

解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の例題で扱った厚いレンズ（$n=1.5$、$R_1=20\,\mathrm{cm}$、$R_2=-20\,\mathrm{cm}$、厚さ $1\,\mathrm{cm}$）では、$A=D=1-\frac{1}{1.5}\times0.025=0.98333$、$\Phi=0.049583\,\mathrm{cm^{-1}}$ で、式 (2.5) から主面は両面から $0.336\,\mathrm{cm}$ ずつレンズの内側に入る。2枚の主面の間隔は $0.328\,\mathrm{cm}$ で、厚さの約 $(n-1)/n=1/3$ である。焦点距離 $20.17\,\mathrm{cm}$ は、この主面から測った距離である。

節点

主面は位置の倍率が $1$ の共役面だった。角の倍率が $1$ の共役点、つまり入った光線と同じ角で出ていく点を節点と呼ぶ。主面から主面への行列は高さ $0$ で主点を通る光線については $p_2=p_1$ で、角に直すと $\theta_2=(n_1/n_2)\theta_1$ である。主点から $z_{\mathrm N}$ だけ後ろの点 $\mathrm N$ と、$\mathrm H'$ から $z_{\mathrm N'}$ だけ後ろの点 $\mathrm N'$ の間の行列 $T_{n_2}(z_{\mathrm N'})\bigl(\begin{smallmatrix}1&0\\-\Phi&1\end{smallmatrix}\bigr)T_{n_1}(-z_{\mathrm N})$ で$B=0$ と $D=n_2/n_1$ を課すと、$z_{\mathrm N}=z_{\mathrm N'}=(n_2-n_1)/\Phi$ になる。両側が同じ媒質なら節点は主点に重なり、主点に向かう光線は向きを変えずに出ていく。

2つの系をつなぐ

屈折力 $\Phi_1$, $\Phi_2$ の2枚の薄いレンズを屈折率 $n$ の媒質の中で距離 $d$ だけ離すと、系の行列は

$$\begin{pmatrix}1&0\\-\Phi_2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&d/n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-\Phi_1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\frac dn\Phi_1&\frac dn\\-\Phi_1-\Phi_2+\frac dn\Phi_1\Phi_2&1-\frac dn\Phi_2\end{pmatrix}$$

で、屈折力は

$$\Phi=\Phi_1+\Phi_2-\frac dn\Phi_1\Phi_2\tag{2.7}$$

である。2枚が接していれば屈折力は和になり、離すと積の項だけ変わる。厚いレンズは2つの球面を $d$ 離した系なので、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章のレンズメーカーの式はこの式の特別な場合である。