出てくるもの（1）：結像の公式と倍率

光学と量子エレクトロニクス　第2章 §2.3　★★★ 焦点面から焦点面への行列は相空間の4分の1回転。そこから Newton の式・横倍率と縦倍率・主点から測った結像の式が出る

焦点面から焦点面へ

主面から主面への行列 (2.6) の前後に、焦点距離の分の伝搬 $T_{n_1}(f)=\bigl(\begin{smallmatrix}1&1/\Phi\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$, $T_{n_2}(f')=\bigl(\begin{smallmatrix}1&1/\Phi\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$ を掛けると（換算距離はどちらも $f/n_1=f'/n_2=1/\Phi$）、前の焦点面から後ろの焦点面への行列は

$$M_{\mathrm{FF'}}=\begin{pmatrix}1&1/\Phi\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-\Phi&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1/\Phi\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1/\Phi\\-\Phi&0\end{pmatrix}\tag{2.8}$$

になる。$x_2=p_1/\Phi$, $p_2=-\Phi x_1$ で、前の焦点面での角が後ろの焦点面での位置に、前の焦点面での位置が後ろの焦点面での角に入れ替わる。相空間 $(x,p)$ で見ると、軸の尺度を $\Phi$ でそろえたうえでの $90^\circ$ の回転である。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の総合問題では、屈折率が放物型の媒質を4分の1周期だけ進んだ行列が同じ形になった。調和振動子の流れの4分の1周期と、レンズの焦点面から焦点面への写像は、同じ線形正準変換である。波の言葉では、この写像が Fourier 変換になる（レンズの Fourier 変換作用、第7章）。

Newton の式

物体が前の焦点 $\mathrm F$ のさらに前 $\zeta$ の位置にあり、像が後ろの焦点 $\mathrm F'$ のさらに後ろ $\zeta'$ にできるとする（$\zeta$, $\zeta'$ はその向きに測って正）。物体面から像面までの行列は

$$\begin{pmatrix}1&\zeta'/n_2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1/\Phi\\-\Phi&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\zeta/n_1\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\Phi\zeta'/n_2&1/\Phi-\Phi\zeta\zeta'/(n_1n_2)\\-\Phi&-\Phi\zeta/n_1\end{pmatrix}$$

で、物体の1点を出た光線がすべて像の1点に集まる条件 $B=0$ は

$$\zeta\zeta'=\frac{n_1}{\Phi}\cdot\frac{n_2}{\Phi}=ff'\tag{2.9}$$

である（Newton の式）。このとき $A$ が像の高さと物体の高さの比（横倍率）$m$ で、

$$m=-\frac{\Phi\zeta'}{n_2}=-\frac{\zeta'}{f'}=-\frac{f}{\zeta},\qquad D=\frac1m\tag{2.10}$$

である。$D=1/m$ は $AD-BC=1$ と $B=0$ から出て、像が $m$ 倍に広がれば像に集まる光線の運動量の幅は $1/m$ 倍に縮む（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章の Lagrange–Helmholtz の不変量）。

物体を光軸の向きにわずかに動かしたときの像の動きは、式 (2.9) を微分して

$$\frac{\mathrm{d}\zeta'}{\mathrm{d}\zeta}=-\frac{ff'}{\zeta^2}=-\frac{n_2}{n_1}m^2\tag{2.11}$$

になる。物体をレンズに近づける（$\zeta$ を減らす）と像は遠ざかり、奥行きの倍率（縦倍率）は横倍率の2乗である。縮小して写すカメラでは $\lvert m\rvert \ll1$ なので、奥行きのある被写体も像の側では薄く押しつぶされ、1枚の撮像素子の面にほぼ収まる。

主点から測った距離 $s=\zeta+f$（物体から $\mathrm H$ まで）、$s'=\zeta'+f'$（$\mathrm H'$ から像まで）に書き換えると、式 (2.9) は

$$\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\Phi\tag{2.12}$$

になる。両側が空気なら $\frac1s+\frac1{s'}=\frac1f$ で、解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章で薄いレンズについて出した式と同じ形である。厚いレンズや何枚もの組レンズでも、距離を主面から測りさえすればこの式がそのまま成り立つ。$s'<0$ は、像が $\mathrm H'$ より前にできたように見える虚像を表す。