時間発展は正準変換である

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第12章 §1.12.3　★★★ 無限小変換は1次まで正準で、その積み重ねである流れは厳密に正準になる。系として相空間の体積が保たれる（Liouville の定理）

無限小変換は1次まで正準

生成子 $G(q,p)$ による無限小変換（第1部第9章）は

$$Q_i=q_i+\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_i},\qquad P_i=p_i-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}\tag{1.12.8}$$

である。1自由度で $\{Q,P\}$ を計算すると、$G$ の2階偏微分を $G_{qp}$ などと書いて

$$\{Q,P\}=(1+\epsilon G_{pq})(1-\epsilon G_{qp})-(\epsilon G_{pp})(-\epsilon G_{qq})=1+\epsilon^2\bigl(G_{pp}G_{qq}-G_{qp}^2\bigr).$$

2階偏微分の順序が入れ替えられるので $\epsilon$ の1次の項は $\epsilon G_{pq}-\epsilon G_{qp}=0$ と打ち消し合い、括弧は $\epsilon$ の1次まで $1$ に等しい。$f$ 自由度でも同じで、式 (1.12.8) は $Z=z+\epsilon\mathsf J\nabla_zG$ と書けるので、$G$ の Hesse 行列を $\mathsf S$（対称行列）として $M=1+\epsilon\mathsf J\mathsf S$。$\mathsf J^{\mathsf T}\mathsf J=1$, $\mathsf J\mathsf J=-1$ を使うと

$$M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J+\epsilon\bigl(\mathsf S\mathsf J^{\mathsf T}\mathsf J+\mathsf J\mathsf J\mathsf S\bigr)+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\mathsf J+\epsilon(\mathsf S-\mathsf S)+\mathcal{O}(\epsilon^2)=\mathsf J+\mathcal{O}(\epsilon^2).$$

無限小変換の第1部第9章での書き方 $\delta q_i=\epsilon\{q_i,G\}$, $\delta p_i=\epsilon\{p_i,G\}$ は、ちょうどこの「1次まで正準」になる組み合わせだった。$\partial G/\partial p_i$ と $-\partial G/\partial q_i$ の符号の組を崩すと、1次の項が残って正準でなくなる。

積み重ねると厳密に正準

時間発展は $G=H$, $\epsilon=\mathrm{d} t$ の無限小変換の積み重ねである。1歩ごとの $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ の誤差を $N=t/\epsilon$ 歩ぶん足しても $\mathcal{O}(\epsilon)$ にしかならないので、$\epsilon\to0$ の極限では誤差が消えると期待できる。この期待を、極限をとらずに直接示す。

証明は $H$ の形を何も使っていない。$\mathsf S$ が対称であること、つまり右辺が1つの関数 $H$ の勾配に $\mathsf J$ を掛けた形であることだけを使った。同じ証明は $H$ を任意の生成子 $G$ に置き換えても通るので、どの生成子で動かした1径数の変換（並進・回転など）も正準変換である。さらに、正準変換を2つ続けた変換も $(M_1M_2)^{\mathsf T}\mathsf J(M_1M_2)=M_2^{\mathsf T}(M_1^{\mathsf T}\mathsf JM_1)M_2=\mathsf J$ で正準変換であり、逆変換も正準変換である。

図 1.12.1 で円板の面積が保たれていたのはこの系の例である。$f\ge2$ では正準であることは体積を保つことより強い。$\det M=1$ は条件1つだが、$M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J$ は $f(2f-1)$ 個の条件で、$(q_i,p_i)$ の各平面への射影の面積の和まで保つことを要求する（1.12.4節）。相空間の体積が保たれることは統計力学の等重率の土台で、第3部第1章 で使う。

時刻を刻むと正準でなくなることがある

計算機で Hamilton 方程式を解くとき、時刻を幅 $\Delta t$ で刻んで1歩ずつ進める。その1歩も相空間の写像なので、正準変換かどうかを問うことができる。定理 1.12.4 は厳密な流れについての主張で、刻んだ写像が正準である保証はない。調和振動子の前進 Euler 法 (1.8.17) とシンプレクティック Euler 法 (1.8.18) は第1部第8章の例題 1.8.5 で比べた。結果だけ引くと、前進 Euler 法の1歩は行列式が $1+\omega^2\Delta t^2$ で正準でなく、エネルギーが1歩ごとに $1+\omega^2\Delta t^2$ 倍に増える。シンプレクティック Euler 法の1歩は行列式が $1$ で正準であり、エネルギーの代わりに少しずれた2次式 $\tilde E=\frac12p^2+\frac12\omega^2q^2-\frac12\omega^2\Delta t\,qp$ を厳密に保つ（図 1.12.2）。刻み方によって正準になるものとならないものがあり、その差は長い時間の計算で目に見える違いになる。分子動力学で広く使われる Störmer–Verlet 法（leapfrog 法）も、1歩が正準変換になる刻み方である。次の例題でその1歩を調べる。

図 1.12.2　調和振動子（$m=\omega=1$）を $\Delta t=0.1$ で 100 歩（$t=10$）進めた軌道。Euler 法（正準でない）は1歩ごとに $q^2+p^2$ が $1.01$ 倍になって渦巻きで外へ出る。シンプレクティック Euler 法（正準）は少し傾いた楕円 $q^2+p^2-0.1\,qp=1$ の上を回り続ける。点線は厳密な円。

正準な刻み方でエネルギーが長時間ずれていかない理由は、上の例題の (3) と同じく、少しずれた $\tilde H$ を厳密に保つことにある。