正準変換の定義：Poisson 括弧を保つ変換

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第12章 §1.12.2　★★★ $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ などを保つ変換を正準変換と定義し、それが Hamilton 方程式の形を保つことを示す

定義と行列の形

式 (1.12.4) は、古い変数が満たす $\{q_i,q_j\}=0$, $\{p_i,p_j\}=0$, $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ と同じ形の関係を、新しい変数にも要求している。これを行列で書いておく。$2f$ 個の変数を1列に並べて $z=(q_1,\dots,q_f,p_1,\dots,p_f)$ とし、$2f\times2f$ 行列

$$\mathsf J=\begin{pmatrix}0&1_f\\-1_f&0\end{pmatrix}\tag{1.12.5}$$

を使うと（$1_f$ は $f\times f$ の単位行列）、Poisson 括弧は勾配の列ベクトル $\nabla_zA=(\partial A/\partial z_a)$ を使って

$$\{A,B\}=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\Bigr)=(\nabla_zA)^{\mathsf T}\,\mathsf J\,\nabla_zB\tag{1.12.6}$$

と書くことができる。新しい変数も $Z=(Q_1,\dots,Q_f,P_1,\dots,P_f)$ と並べ、Jacobi 行列を $M_{ab}=\partial Z_a/\partial z_b$ とすると、$\nabla_zZ_a$ は $M$ の第 $a$ 行なので、新しい変数どうしの括弧を並べた行列は $\bigl(\{Z_a,Z_b\}\bigr)=M\mathsf JM^{\mathsf T}$ になる。式 (1.12.4) は $\bigl(\{Z_a,Z_b\}\bigr)=\mathsf J$ のことなので、

$$\text{正準変換}\iff M\mathsf JM^{\mathsf T}=\mathsf J\iff M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J .\tag{1.12.7}$$

2つ目の同値は、$\mathsf J^{-1}=-\mathsf J$ を使って $M\mathsf JM^{\mathsf T}=\mathsf J$ の両辺の逆行列をとると $(M^{\mathsf T})^{-1}\mathsf J M^{-1}=\mathsf J$ となり、左から $M^{\mathsf T}$、右から $M$ を掛ければ出る。$M^{\mathsf T}\mathsf JM=\mathsf J$ を満たす行列をシンプレクティック行列と呼ぶ。

1自由度では $2\times2$ 行列について $M\mathsf JM^{\mathsf T}=(\det M)\,\mathsf J$ が恒等的に成り立つので、条件は $\det M=1$ だけになり、1.12.1節の式 (1.12.3) に戻る。1自由度の正準変換とは、向きを変えずに面積を保つ変換のことである。

括弧はどちらの変数で計算しても同じ

証明

$A$ を新しい変数の関数と見ると、連鎖律で $\partial A/\partial z_b=\sum_a(\partial A/\partial Z_a)(\partial Z_a/\partial z_b)$、すなわち $\nabla_zA=M^{\mathsf T}\nabla_ZA$。これを式 (1.12.6) に入れて

$$\{A,B\}_{q,p}=(\nabla_ZA)^{\mathsf T}M\mathsf JM^{\mathsf T}\nabla_ZB=(\nabla_ZA)^{\mathsf T}\mathsf J\,\nabla_ZB=\{A,B\}_{Q,P}.$$

2つ目の等号で正準変換の条件 (1.12.7) を使った。

この定理から、正準変換が Hamilton 方程式の形を保つことが出る。ここでは変換が時刻を陽に含まない場合を扱い、時刻を含む場合は1.12.5節で扱う。

証明

任意の関数 $A(q,p)$ の時間変化は $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}_{q,p}$ である（第1部第11章）。$A=Q_i$ とおき、定理 1.12.2 で括弧を新しい変数で計算すると

$$\dot Q_i=\{Q_i,H\}_{q,p}=\{Q_i,K\}_{Q,P}=\sum_j\Bigl(\frac{\partial Q_i}{\partial Q_j}\frac{\partial K}{\partial P_j}-\frac{\partial Q_i}{\partial P_j}\frac{\partial K}{\partial Q_j}\Bigr)=\frac{\partial K}{\partial P_i}.$$

$A=P_i$ でも同じ計算で $\dot P_i=\{P_i,K\}_{Q,P}=-\partial K/\partial Q_i$ を得る。

正準変換の例

点変換：座標だけを $Q_i=Q_i(q)$ と取り替え、運動量を $P_i=\sum_j(\partial q_j/\partial Q_i)\,p_j$ とおく変換は正準変換である。1自由度なら $Q=g(q)$, $P=p/g'(q)$ で、$\{Q,P\}=g'(q)\cdot\frac{1}{g'(q)}-0=1$ となる。Lagrangian の側で一般化座標を取り替える操作（第1部第2章）は、相空間ではこの点変換にあたる。運動量の変換の式は、$p_j=\partial L/\partial\dot q_j$ と $\dot q_j=\sum_i(\partial q_j/\partial Q_i)\dot Q_i$ から $P_i=\partial L/\partial\dot Q_i$ を計算すると出てくる。

座標と運動量の入れ替え：$Q=p$, $P=-q$ は $\{Q,P\}=0\cdot0-1\cdot(-1)=1$ で正準変換である。前の節の例題で、調和振動子の4分の1周期の流れがほぼこの形になっていた。点変換は座標と運動量を混ぜないが、正準変換は混ぜてよい。Lagrangian の側の座標変換より、正準変換のほうがずっと広い。

反例：$Q=2q$, $P=2p$ は一見ただの目盛りの取り直しだが、$\{Q,P\}=4$ なので正準変換でない。面積が4倍になるためである。$H$ を書き直しただけの $K$ では Hamilton 方程式の形が崩れ、$K$ を $4$ 倍すると形が戻る。この種の定数倍の変換は1.12.6節で扱う。