授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第12章 §1.12.6　★★ 「Hamilton 方程式の形を保つ変換」という教科書の定義との違い、量子力学のユニタリ変換、数値計算との対応

「形を保つ変換」という定義

学部の解析力学の教科書の多くは、正準変換を「Hamilton 方程式の形を保つ変換」と定義し、すぐに相空間の作用を使って

$$\delta\int\Bigl(\sum_ip_i\dot q_i-H\Bigr)\mathrm{d} t=0\quad\text{と}\quad\delta\int\Bigl(\sum_iP_i\dot Q_i-K\Bigr)\mathrm{d} t=0\quad\text{が同じ経路を選ぶ}\tag{1.12.21}$$

ことを要求し、2つの被積分関数の差を $\mathrm{d} F/\mathrm{d} t$ とおいて母関数を導く。この章の1.12.5節の計算と同じ式が出るが、出発点が違う。この章は $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ を定義に取り、そこから式 (1.12.11) を導いた。教科書の書き方には、定義として次の2点の注意が要る。

第一に、「形を保つ」は特定の $H$ についてではなく、すべての $H$ について要求しないと定義にならない。特定の $H$ だけなら、正準でない変換でも形が保たれることがある（次の例題）。第二に、すべての $H$ について形を保つ変換には、正準変換のほかに $Q=\lambda q$, $P=p$ のような定数倍の変換が入る。この変換では $\{Q,P\}=\lambda$ で、$K=\lambda H$ とおくと $\dot Q=\lambda\dot q=\lambda\,\partial H/\partial p=\partial K/\partial P$, $\dot P=-\partial H/\partial q=-\lambda\,\partial H/\partial Q=-\partial K/\partial Q$ と形が保たれる。時間の目盛りを $1/\lambda$ 倍に取り直したのと同じで、面積は $\lambda$ 倍に変わる。教科書によっては、式 (1.12.21) の2つの被積分関数の比に定数 $\lambda$ を許してこれを「拡大された正準変換」として含める。この本では $\lambda=1$ のもの、すなわち括弧と面積を保つものだけを正準変換と呼ぶ。量子力学の交換関係 $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ に対応するのは $\lambda=1$ の場合だけだからである。

Lagrangian の側の座標変換との関係

Lagrangian で解析力学を学ぶと、Euler–Lagrange 方程式が一般化座標の取り替え $q\to Q(q,t)$ で形を変えないことを習う（第1部第2章・第1部第4章）。相空間ではこれは点変換 $F_2=\sum_iQ_i(q,t)P_i$ にあたる。正準変換はそれより広く、座標と運動量を混ぜる変換（入れ替え・調和振動子の流れ・作用角変数）を含む。Hamilton 形式に移る利点の1つは、変数を取り替えられる範囲がこのように広がることにある。

量子力学のユニタリ変換

量子力学では、ユニタリ演算子 $\hat U$ で $\hat Q=\hat U^\dagger\hat q\hat U$, $\hat P=\hat U^\dagger\hat p\hat U$ と取り替えても

$$\left[\hat Q,\,\hat P\right]=\hat U^\dagger\left[\hat q,\,\hat p\right]\hat U=\mathrm{i}\hbar$$

が保たれる。これは $\{Q,P\}=1$ を保つ正準変換の量子版で、記法の正本の対応 $\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ のもとで定義 1.12.1 と同じ形をしている。時間発展 $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ を演算子に当てたものが Heisenberg 描像 $\hat A_{\mathrm H}(t)=\hat U(t)^\dagger\hat A\hat U(t)$ で、定理 1.12.4「流れは正準変換」の量子版にあたる。無限小の生成子 $G$ には $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}$ が対応する。Heisenberg 描像は 第4部第3章、Poisson 括弧から交換子への移り方は 第4部第1章 で扱う。

数値計算の授業との対応

数値計算の授業では、常微分方程式の解法を「1歩の誤差が $\Delta t$ の何乗か」で比べることが多い。第1部第8章の例題 1.8.5 の前進 Euler 法とシンプレクティック Euler 法はどちらも1歩の誤差が $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ で、その意味では同じ精度だった。それでも長い時間では、正準でない Euler 法はエネルギーが指数関数的に増え、正準な方法は増えなかった。Hamilton 系を長く追う計算（惑星の軌道・分子動力学）で正準な刻み方（シンプレクティック積分法）が選ばれる理由はここにある。