この章で選ぶもの：同じ $H$ を演算子に

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第1章 §4.1.1　★★★ 古典の観測量の代数（積と Poisson 括弧）を、演算子の代数（積と交換子）に写す。写し方への4つの要請を先に書き出す

第1部では、相空間の関数 $A(q,p)$ を生成子 $G$ で動かす操作を Poisson 括弧 $\delta A=\epsilon\{A,G\}$ にまとめ、時間発展 $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ も保存量の条件 $\{G,H\}=0$ も、この1つの演算で書けることを示した（第1部第11章）。第4部では、同じ Hamiltonian $H$ を演算子 $\hat H$ に置き換えたものとして量子力学を読む。その最初の手続きが、Poisson 括弧を交換子に置き換える規則

$$\{A,B\}\ \longrightarrow\ \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A,\,\hat B\right]$$

である。この規則は量子力学の授業の最初に正準交換関係 $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ として与えられるが、「なぜ交換子なのか」「なぜ $\mathrm{i}\hbar$ で割るのか」「古典の関数をどう演算子に直すのか」の3つは、ふつう説明されないまま先へ進む。

この章では、その3つを第1部の道具から順に確かめる。まず、交換子が Poisson 括弧と同じ代数（反対称性・Leibniz 則・Jacobi 恒等式）を満たすこと、そして Leibniz 則を保つ括弧は交換子の定数倍に限られることを示す（Dirac の議論）。並進の生成子が運動量であるという第1部第9章の結果を量子力学に持ち込むと、定数が $\mathrm{i}\hbar$ に決まる。次に、$\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ を満たす演算子の組が、本質的に位置表示 $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}$ の1通りしかないこと（Stone–von Neumann の定理）と、有限次元の行列では決して満たせないことを示す。最後に、自明でない部分が2つあることを示す。1つは $qp$ や $q^2p^2$ のような積を演算子に直すときの順序の自由度で、もう1つは規則 $\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$ がすべての関数について同時には成り立たないこと（Groenewold の定理）である。規則は $q,p$ の2次以下の多項式では厳密に成り立ち、3次以上では $\hbar^2$ の補正が残る。その帰結として、Ehrenfest の定理が古典の運動方程式に閉じるのは2次までのポテンシャルに限られる。

古典の観測量が持つ2つの演算

古典力学では、観測量は相空間の関数 $A(q,p)$ である。位置 $q$、運動量 $p$、エネルギー $H(q,p)$、角運動量 $L_z=xp_y-yp_x$ はどれもこの形をしている。観測量どうしには2つの演算がある。1つは普通の積 $AB$ で、これは交換する（$AB=BA$）。もう1つは Poisson 括弧

$$\{A,B\}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\Bigr),\qquad \{q_i,p_j\}=\delta_{ij}\tag{4.1.1}$$

で、こちらは反対称である。第1部第11章で見たように、運動を決めているのは括弧のほうで、$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$（時間を陽に含まない $A$）が Hamilton 方程式をすべて含んでいる。したがって古典力学の内容は、「どの $H$ を選ぶか」と「括弧の値 $\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$」の2つで決まっている。

量子力学で選ぶものも同じ $H$ である。ただし観測量は関数でなく Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ の上の演算子 $\hat A$ になり、積が交換しなくなる。時間発展は Heisenberg 描像で

$$\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A_{\mathrm H},\,\hat H\right]\tag{4.1.2}$$

と書け、古典の $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ の括弧を交換子 $\left[\hat A,\,\hat H\right]=\hat A\hat H-\hat H\hat A$ に置き換えて $\mathrm{i}\hbar$ で割った形をしている。この章では、この置き換えを「古典の関数 $f$ に演算子 $\hat f=\mathcal Q(f)$ を対応させる写像 $\mathcal Q$」として扱い、その写像が何を満たすべきかを調べる。

量子化の写像への4つの要請

(Q1) と (Q2) は観測量を演算子で表すための最小限の条件である。(Q3) が「括弧を交換子へ」という規則そのもので、これがあれば古典の時間発展 $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\}$ が Heisenberg の運動方程式 (4.1.2) に写る。(Q4) は「$\hat q$ と $\hat p$ だけで系が記述し尽くされる」ことの数学的な言い方で、スピンのような余分な自由度を含めないという意味である。(Q3) を $f=q_i$, $g=p_j$ に当てると、正準交換関係

$$\left[\hat q_i,\,\hat p_j\right]=\mathrm{i}\hbar\,\delta_{ij},\qquad \left[\hat q_i,\,\hat q_j\right]=\left[\hat p_i,\,\hat p_j\right]=0\tag{4.1.3}$$

が出る。

この4つは自然な要請に見えるが、4.1.5節で示すように、(Q1)〜(Q4) をすべての多項式について同時に満たす $\mathcal Q$ は存在しない。正準量子化の自明でない部分は、ここにある。実際の量子力学は、(Q3) を $q,p$ の2次以下の多項式に限って厳密に要求し、それより高い次数では $\hbar^2$ の補正を許すことで成り立っている。