出てくるもの3：規則はどこまで成り立つか

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第1章 §4.1.5　★★★ 括弧から交換子への規則は、一方が2次以下の多項式なら厳密に成り立ち、3次以上どうしでは $\hbar^2$ の補正が残る（Groenewold の定理）。その帰結として Ehrenfest の定理が古典の式に閉じるのは2次までのポテンシャルに限られる

2次以下では厳密に成り立つ

Weyl の順序 $W$ を量子化の写像 $\mathcal Q$ に選ぶと、Poisson 括弧と交換子の関係は次の形に書ける。Weyl の順序で並べた2つの演算子の交換子を、古典の関数に戻した（Weyl の対応で逆に写した）ものは

$$\{f,g\}_{\mathrm M}=\{f,g\}-\frac{\hbar^2}{24}\bigl(f_{qqq}g_{ppp}-3f_{qqp}g_{qpp}+3f_{qpp}g_{qqp}-f_{ppp}g_{qqq}\bigr)+\mathcal{O}(\hbar^4)\tag{4.1.15}$$

になる（添字は偏微分。$\{f,g\}_{\mathrm M}$ を Moyal 括弧と呼ぶ）¹1H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405–460；J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.下の脚注へ閉じる。つまり $\left[W(f),\,W(g)\right]/(\mathrm{i}\hbar)=W(\{f,g\}_{\mathrm M})$ で、補正は $\hbar$ の偶数冪だけからなり、$\hbar^{2k}$ の項は $f$ と $g$ の $(2k+1)$ 階の偏微分を含む。この式から、一方の関数が $q,p$ の2次以下の多項式なら3階以上の微分がすべて $0$ になり、補正は全部消える。

例題 4.1.1 では、比べた一方が $q$ か $p$ の1次式だったので、比較がすべて一致した。自由粒子・調和振動子・一様な場の中の粒子のように Hamiltonian が2次以下の系では、量子の Heisenberg 方程式と古典の Hamilton 方程式が同じ形になる。第1部第11章の括弧 $\{L_x,L_y\}=L_z$ も、$L_i$ が2次式なので量子力学で $\left[\hat L_x,\,\hat L_y\right]=\mathrm{i}\hbar\hat L_z$ としてそのまま成り立つ（第4部第5章）。

3次以上では食い違う：Groenewold の定理

3次以上の多項式どうしでは、式 (4.1.15) の $\hbar^2$ の項が残る。それが単なる順序の選び方の問題でないことを、次の計算で確かめる。古典では

$$\{q^3,p^3\}=9q^2p^2,\qquad \{q^2p,qp^2\}=3q^2p^2\tag{4.1.16}$$

なので、$\{q^3,p^3\}=3\{q^2p,qp^2\}$ という恒等式が成り立つ。量子化の写像 $\mathcal Q$ が (Q3) を満たすなら、両辺を写したものも等しくなければならない。ところが、(Q3) を2次以下の多項式に当てると $\mathcal Q$ は2次以下で Weyl の順序に決まり、さらに $\{q^2,\,\cdot\,\}$ や $\{p^2,\,\cdot\,\}$ との括弧を保つ条件から3次の $\mathcal Q(q^3)$, $\mathcal Q(q^2p)$ なども Weyl の順序に決まる。その $\mathcal Q$ で両辺を計算すると、式 (4.1.15) の補正項から

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat q^3,\,\hat p^3\right]=9W(q^2p^2)-\frac32\hbar^2,\qquad \frac{3}{\mathrm{i}\hbar}\left[W(q^2p),\,W(qp^2)\right]=9W(q^2p^2)+\frac32\hbar^2\tag{4.1.17}$$

となり、両者は $3\hbar^2$ だけ食い違う。左辺の $\mathcal Q(\{q^3,p^3\})$ と右辺の $3\mathcal Q(\{q^2p,qp^2\})$ は同じ $\mathcal Q(9q^2p^2)$ のはずなので、(Q3) はこの組で破れている。Groenewold（1946）はこの議論を一般にして、次を示した。

この定理は「正準量子化は失敗している」という意味ではない。量子力学は古典力学を含むより広い理論で、括弧から交換子への規則は $\hbar\to0$ で成り立つ対応にすぎない、という意味である。実際、式 (4.1.15) の補正はすべて $\hbar^2$ 以上なので、$\hbar\to0$ では規則が回復する。古典の Hamiltonian から量子の Hamiltonian を作る手続きは、2次以下では一意に決まり、それより高い次数では $\hbar^2$ の項の分だけ選択の余地が残る。その選択は理論の外から決めることになる。

Ehrenfest の定理と古典極限

規則が2次以下でしか厳密でないことは、期待値の運動に直接現れる。$H=p^2/(2m)+V(q)$ の Heisenberg 方程式 (4.1.2) に $\hat q,\hat p$ を入れると、例題 4.1.1 と同じ計算で $\left[\hat p,\,V(\hat q)\right]/(\mathrm{i}\hbar)=-V'(\hat q)$ となるので、期待値は

$$\frac{\mathrm{d} \langle \hat q \rangle }{\mathrm{d} t}=\frac{\langle \hat p \rangle }{m},\qquad \frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-\langle V'(\hat q) \rangle\tag{4.1.18}$$

に従う（Ehrenfest の定理²2P. Ehrenfest (1927), Z. Phys. 45, 455–457.下の脚注へ閉じる）。古典の Hamilton 方程式と同じ形に見えるが、右辺は $-V'(\langle \hat q \rangle )$ でなく $-\langle V'(\hat q) \rangle$ である。$V$ が2次以下なら $V'$ は1次式で $\langle V'(\hat q) \rangle =V'(\langle \hat q \rangle )$ となり、期待値は古典軌道を厳密にたどる。3次以上では $\langle V'(\hat q) \rangle$ が波束の広がりに依存し、式 (4.1.18) は $\langle \hat q \rangle ,\langle \hat p \rangle$ だけでは閉じない。

図 4.1.2 は、$V=\lambda q^4$ の中で Gauss 型の波束を初速 $0$ で放したときの $\langle \hat q \rangle$ を、Schrödinger 方程式を数値的に解いて求め、同じ初期値の古典軌道と比べたものである。最初の半周期ほどは2つは近いが、波束が広がるにつれて量子の $\langle \hat q \rangle$ は古典軌道から外れ、振幅が小さくなっていく。4次のポテンシャルでは振動の周期が振幅によって変わるので、波束の中の各部分が異なる周期で振動し、位相がそろわなくなって平均がならされていくためである。調和振動子では周期が振幅によらないので、同じ計算で量子と古典の差は数値誤差（$10^{-7}$ 程度）しか生じない。

期待値の運動を古典軌道で置き換えることは、波束が狭い（$\sigma$ がポテンシャルの変化する長さより十分小さい）極限での近似である。置き換えが成り立つ時間は、4次のポテンシャルのように周期が振幅に依存する系では、波束の広がりとともに短くなる。

1　H. J. Groenewold (1946), Physica 12, 405–460；J. E. Moyal (1949), Proc. Cambridge Philos. Soc. 45, 99–124.

2　P. Ehrenfest (1927), Z. Phys. 45, 455–457.