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出てくるもの2：積の順序

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第1章 Poisson 括弧から交換子へ
目次
  1. をどう演算子にするか
  2. 順序が問題になる場面と、ならない場面
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第1章 §4.1.4　★★★ 古典では区別の無い qpqp と pqpq が、演算子では iℏ\mathrm{i}\hbar だけ違う。積を演算子に直す規則（順序づけ）は1通りに決まらず、規則どうしの差は ℏ\hbar の冪になる

qpqp をどう演算子にするか

古典の関数 qpqp を演算子にするとき、q^p^\hat q\hat p と p^q^\hat p\hat q のどちらを選ぶかで結果が変わる。交換関係から

(q^p^)†=p^†q^†=p^q^=q^p^−iℏ(4.1.13)(\hat q\hat p)^\dagger=\hat p^\dagger\hat q^\dagger=\hat p\hat q=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar\tag{4.1.13}

なので、q^p^\hat q\hat p はエルミートでなく、要請 (Q2) を満たさない。両者を平均した

Q(qp)=12(q^p^+p^q^)=q^p^−iℏ2(4.1.14)\mathcal Q(qp)=\frac12(\hat q\hat p+\hat p\hat q)=\hat q\hat p-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\tag{4.1.14}

はエルミートになる。2つの因子しかないときは、この対称化で (Q2) が決まる。

因子が増えると、エルミートにする方法が1つではなくなる。よく使われる順序づけの規則を3つ挙げる。

定義 4.1.3（順序づけの規則）

qmpnq^mp^n に対して、

  • Weyl の順序：mm 個の q^\hat q と nn 個の p^\hat p の並べ方すべてについて積を作り、その平均を取る。同じことを、ei(aq+bp)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(aq+bp)} を ei(aq^+bp^)\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat q+b\hat p)} に写す線形写像として定義することもできる（Weyl 1927）1H. Weyl (1927), Z. Phys. 46, 1–46.下の脚注へ。
  • Born–Jordan の順序：1m+1∑k=0mq^kp^nq^m−k\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\hat q^k\hat p^n\hat q^{m-k}2M. Born and P. Jordan (1925), Z. Phys. 34, 858–888.下の脚注へ。
  • 標準の順序：すべての q^\hat q を左に、p^\hat p を右に置く q^mp^n\hat q^m\hat p^n（エルミートとは限らない）。

qpqp では Weyl と Born–Jordan はどちらも式 (4.1.14) を与える。違いが現れるのは q2p2q^2p^2 からで、下の例題で計算するように、Weyl の順序と Born–Jordan の順序の差は定数 ℏ2/6\hbar^2/6 である。どちらもエルミートで、ℏ→0\hbar\to0 で古典の q2p2q^2p^2 に戻るので、要請 (Q1)・(Q2) だけからはどちらが正しいかを決められない。

順序が問題になる場面と、ならない場面

この曖昧さは、量子力学の初めの計算ではほとんど表に出てこない。直交座標の H=∑ipi2/(2m)+V(q)H=\sum_i p_i^2/(2m)+V(q) には qq と pp の積が無いので、順序の選び方が無いからである。順序が問題になる Hamiltonian は、qq と pp が同じ項に掛かって現れるものに限られる。代表的なものは次の3つである。

  • 電磁場中の粒子 H=(p−qeA(r))2/(2m)H=(\bm{p}-q_{\mathrm e}\bm{A}(\bm{r}))^2/(2m)。展開すると p⋅A\bm{p}\cdot\bm{A} と A⋅p\bm{A}\cdot\bm{p} が現れ、1成分ごとに p^ A+A p^=2Ap^−iℏA′\hat p\,A+A\,\hat p=2A\hat p-\mathrm{i}\hbar A' となる（A′A' は AA の微分）。対称に並べるのが自然で、Coulomb ゲージ ∇⋅A=0\nabla\cdot\bm{A}=0 では2つの並べ方の差が消える（電荷を qeq_{\mathrm e} と書いたのは座標 qq と区別するため。第4部第6章）。
  • 曲線座標。球座標の動径運動量 prp_r を −iℏ ∂r-\mathrm{i}\hbar\,\partial_r とするとエルミートにならない（4.1.6節の例題）。
  • 位置に依存する質量（半導体の異なる層をまたぐ有効質量など）。p 1m(q) pp\,\frac{1}{m(q)}\,p の並べ方で境界条件が変わる。

いずれの場合も、どの順序を選ぶかは理論の外から（直交座標で書いた結果と一致させる、ゲージ変換で不変にする、実験と合わせる）決めることになる。

例題 4.1.4　q2p2q^2p^2 の3つの順序づけ ★★

オリジナル[q^, p^]=iℏ\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar を使い、次をそれぞれ q^2p^2+α iℏ q^p^+βℏ2\hat q^2\hat p^2+\alpha\,\mathrm{i}\hbar\,\hat q\hat p+\beta\hbar^2 の形に直して α,β\alpha,\beta を求めよ。

  1. (1) p^2q^2\hat p^2\hat q^2。
  2. (2) Weyl の順序 W(q2p2)W(q^2p^2)。6通りの並べ方の平均で、14(q^2p^2+2q^p^2q^+p^2q^2)\frac14(\hat q^2\hat p^2+2\hat q\hat p^2\hat q+\hat p^2\hat q^2) に等しい。
  3. (3) Born–Jordan の順序 13(q^2p^2+q^p^2q^+p^2q^2)\frac13(\hat q^2\hat p^2+\hat q\hat p^2\hat q+\hat p^2\hat q^2)。

最後に、(2) と (3) の差を求めよ。

解答

基本になるのは p^q^=q^p^−iℏ\hat p\hat q=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar と、例題 4.1.2 の [p^2, q^]=−2iℏp^\left[\hat p^2,\,\hat q\right]=-2\mathrm{i}\hbar\hat p である。

(1) p^2q^=q^p^2−2iℏp^\hat p^2\hat q=\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p を2回使う。p^2q^2=(q^p^2−2iℏp^)q^=q^(q^p^2−2iℏp^)−2iℏ(q^p^−iℏ)=q^2p^2−4iℏq^p^−2ℏ2\hat p^2\hat q^2=(\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p)\hat q=\hat q(\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p)-2\mathrm{i}\hbar(\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar)=\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2。よって α=−4\alpha=-4, β=−2\beta=-2。

(2) q^p^2q^=q^(q^p^2−2iℏp^)=q^2p^2−2iℏq^p^\hat q\hat p^2\hat q=\hat q(\hat q\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat p)=\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p。これと (1) を代入して

W(q2p2)=14(q^2p^2+2q^2p^2−4iℏq^p^+q^2p^2−4iℏq^p^−2ℏ2)=q^2p^2−2iℏq^p^−12ℏ2.W(q^2p^2)=\tfrac14\bigl(\hat q^2\hat p^2+2\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p+\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2\bigr)=\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-\tfrac12\hbar^2 .

α=−2\alpha=-2, β=−1/2\beta=-1/2。6通りの並べ方（qqppqqpp, qpqpqpqp, qppqqppq, pqqppqqp, pqpqpqpq, ppqqppqq）の平均を直接計算しても同じ結果になる。

(3) 13(q^2p^2+q^2p^2−2iℏq^p^+q^2p^2−4iℏq^p^−2ℏ2)=q^2p^2−2iℏq^p^−23ℏ2\tfrac13\bigl(\hat q^2\hat p^2+\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p+\hat q^2\hat p^2-4\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-2\hbar^2\bigr)=\hat q^2\hat p^2-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p-\tfrac23\hbar^2。α=−2\alpha=-2, β=−2/3\beta=-2/3。

差は W(q2p2)−BJ(q2p2)=(−12+23)ℏ2=16ℏ2W(q^2p^2)-\mathrm{BJ}(q^2p^2)=\bigl(-\tfrac12+\tfrac23\bigr)\hbar^2=\tfrac16\hbar^2 で、恒等演算子の定数倍である。(2) と (3) はどちらもエルミートで（α=−2\alpha=-2 のとき −2iℏq^p^-2\mathrm{i}\hbar\hat q\hat p のエルミートでない部分と q^2p^2\hat q^2\hat p^2 のエルミートでない部分が打ち消し合う）、エネルギーの原点が ℏ2/6\hbar^2/6 ずれる程度の違いしかない。古典の極限 ℏ→0\hbar\to0 ではどちらも q2p2q^2p^2 に戻るので、古典力学からはどちらを選ぶべきかが決まらない。

1　H. Weyl (1927), Z. Phys. 46, 1–46.

2　M. Born and P. Jordan (1925), Z. Phys. 34, 858–888.

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