出てくるもの1：交換関係を満たす演算子の組

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第1章 §4.1.3　★★★ $\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ は有限次元の行列では満たせず、$\hat q,\hat p$ の少なくとも一方は有界でない。満たす組は本質的に位置表示の1通りだけである

位置表示と運動量表示

正準交換関係 (4.1.3) を満たす演算子の組を1つ作る。$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$（2乗可積分な関数 $\psi(x)$ の空間）を取り、

$$(\hat q\psi)(x)=x\,\psi(x),\qquad (\hat p\psi)(x)=-\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} x}\tag{4.1.11}$$

とおくと、$\left[\hat q,\,\hat p\right]\psi=-\mathrm{i}\hbar\bigl(x\psi'-(x\psi)'\bigr)=\mathrm{i}\hbar\psi$ となる。これを位置表示（Schrödinger 表示）と呼ぶ。$\hat p$ の形は、前節の並進 $\hat U(a)\psi(x)=\psi(x-a)$ を $a$ で微分すれば $-\mathrm{i}\hat p/\hbar=-\mathrm{d}/\mathrm{d} x$ として出てくるので、天下りに与えたものではない。役割を入れ替えて、運動量の関数 $\phi(p)$ の空間で $\hat p\phi=p\phi$、$\hat q\phi=\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}\phi/\mathrm{d} p$ としても交換関係は満たされる（運動量表示）。2つの表示は Fourier 変換 $\phi(p)=\int\mathrm{d} x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} px/\hbar}\psi(x)/\sqrt{2\pi\hbar}$ で結ばれる。

有限次元では満たせない

交換関係 (4.1.3) を $n\times n$ 行列で満たすことはできない。両辺のトレースを取ると、左辺は $\operatorname{Tr}(\hat q\hat p)-\operatorname{Tr}(\hat p\hat q)=0$（トレースの巡回性）、右辺は $\mathrm{i}\hbar\operatorname{Tr}\hat 1=\mathrm{i}\hbar n\ne0$ となり、矛盾する。古典の $\{q,p\}=1$ を量子化した時点で、状態空間は無限次元でなければならない。

これを具体的に見るため、調和振動子の消滅演算子 $\hat a$ を $N\times N$ 行列に打ち切る（$\hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle$ を $n=0,\dots,N-1$ だけ残す）。長さと運動量を $\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ と $\sqrt{\hbar m\omega}$ を単位に測り、$X=(\hat a+\hat a^\dagger)/\sqrt2$、$P=\mathrm{i}(\hat a^\dagger-\hat a)/\sqrt2$ とおくと、

$$\frac{1}{\mathrm{i}}\left[X,\,P\right]=\mathrm{diag}(1,1,\dots,1,-(N-1))\tag{4.1.12}$$

になる（図 4.1.1）。$N-1$ 個の対角成分は正しく $1$ だが、最後の成分に $-(N-1)$ が押し付けられ、トレースが $0$ に保たれる。$N$ を大きくしても、食い違いは消えずに一番上の準位へ移るだけである。

さらに、$\hat q$ と $\hat p$ の両方が有界（どの状態に当てても長さを高々定数倍にしか伸ばさない）であることもできない。両方が有界でエルミートだと仮定し、作用素ノルムを $\lVert \cdot\rVert$ と書く。例題 4.1.2 (1) の $\left[\hat q,\,\hat p^n\right]=\mathrm{i}\hbar n\hat p^{n-1}$ のノルムを取ると

$$n\hbar\lVert \hat p^{n-1}\rVert =\lVert \hat q\hat p^n-\hat p^n\hat q\rVert \le2\lVert \hat q\rVert \lVert \hat p\rVert \lVert \hat p^{n-1}\rVert$$

で、エルミートな $\hat p$ では $\lVert \hat p^{n-1}\rVert =\lVert \hat p\rVert ^{n-1}>0$ だから $n\hbar\le2\lVert \hat q\rVert \lVert \hat p\rVert$ がすべての $n$ で成り立つことになり、矛盾する。したがって $\hat q,\hat p$ の少なくとも一方は有界でなく、全空間では定義できない。式 (4.1.11) の $\hat p$ も、微分できない関数には当てられない。こうした定義域の扱いと、エルミートと自己共役の違いは 近似の数理 第3章 で扱っている。

表示は本質的に1通り：Stone–von Neumann の定理

交換関係を満たす組は、位置表示のほかにもある。たとえば実関数 $F(x)$ を1つ選び、$\hat p'=\hat p+F'(\hat q)$ とおいても $\left[\hat q,\,\hat p'\right]=\mathrm{i}\hbar$ は成り立つ。しかし下の例題で見るように、この $\hat p'$ はユニタリ変換 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} F(\hat q)/\hbar}$ で $\hat p$ に戻せるので、物理としては同じものである。一般に次が成り立つ。

この定理によって、量子力学の授業で $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\nabla$ から始めても、一般性は失われていないことが保証される。仮定が交換関係そのものでなく指数の形（Weyl の関係）になっているのは、有界でない演算子の交換関係は定義域の取り方に依存し、$\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ をある定義域で満たすだけでは一意性が言えない例があるためである。また、定理は自由度が有限の場合に限られる。場のように自由度が無限にある系では、互いにユニタリ同値でない表示が無数にあり、どの表示を選ぶかが物理の内容になる。この問題は第5部の場の量子化で扱う。

1　M. H. Stone (1930), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 16, 172–175；J. von Neumann (1931), Math. Ann. 104, 570–578.