解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部 第1章 §4.1.2 ★★★ 交換子は Poisson 括弧と同じ代数を満たし、Leibniz 則を保つ括弧は交換子の定数倍に限られる。並進の生成子が運動量であることから定数が i ℏ \mathrm{i}\hbar i ℏ
交換子も同じ代数を満たす
第1部第11章では、Poisson 括弧の性質として次の3つを示した。
{ A , B } = − { B , A } ( 反対称性 ) , { A , B C } = { A , B } C + B { A , C } ( Leibniz 則 ) , { A , { B , C } } + { B , { C , A } } + { C , { A , B } } = 0 ( Jacobi 恒等式 ) . \begin{align*}&\{A,B\}=-\{B,A\}\quad(\text{反対称性}),\tag{4.1.4}\\&\{A,BC\}=\{A,B\}C+B\{A,C\}\quad(\text{Leibniz 則}),\tag{4.1.5}\\&\{A,\{B,C\}\}+\{B,\{C,A\}\}+\{C,\{A,B\}\}=0\quad(\text{Jacobi 恒等式}).\tag{4.1.6}\end{align*} { A , B } = − { B , A } ( 反対称性 ) , { A , B C } = { A , B } C + B { A , C } ( Leibniz 則 ) , { A , { B , C }} + { B , { C , A }} + { C , { A , B }} = 0 ( Jacobi 恒等式 ) . ( 4.1.4 ) ( 4.1.5 ) ( 4.1.6 )
この3つがあるので、括弧の計算を偏微分に戻さずに進めることができた。交換子 [ A ^ , B ^ ] = A ^ B ^ − B ^ A ^ \left[\hat A,\,\hat B\right]=\hat A\hat B-\hat B\hat A [ A ^ , B ^ ] = A ^ B ^ − B ^ A ^
[ A ^ , B ^ C ^ ] = A ^ B ^ C ^ − B ^ C ^ A ^ = ( A ^ B ^ − B ^ A ^ ) C ^ + B ^ ( A ^ C ^ − C ^ A ^ ) = [ A ^ , B ^ ] C ^ + B ^ [ A ^ , C ^ ] (4.1.7) \left[\hat A,\,\hat B\hat C\right]=\hat A\hat B\hat C-\hat B\hat C\hat A=(\hat A\hat B-\hat B\hat A)\hat C+\hat B(\hat A\hat C-\hat C\hat A)=\left[\hat A,\,\hat B\right]\hat C+\hat B\left[\hat A,\,\hat C\right]\tag{4.1.7} [ A ^ , B ^ C ^ ] = A ^ B ^ C ^ − B ^ C ^ A ^ = ( A ^ B ^ − B ^ A ^ ) C ^ + B ^ ( A ^ C ^ − C ^ A ^ ) = [ A ^ , B ^ ] C ^ + B ^ [ A ^ , C ^ ] ( 4.1.7 )
と確かめられる。Jacobi 恒等式は、3つの交換子を展開すると12個の積 A ^ B ^ C ^ \hat A\hat B\hat C A ^ B ^ C ^ (4.1.5) では { A , B } C \{A,B\}C { A , B } C C { A , B } C\{A,B\} C { A , B } [ A ^ , B ^ ] C ^ \left[\hat A,\,\hat B\right]\hat C [ A ^ , B ^ ] C ^ C ^ [ A ^ , B ^ ] \hat C\left[\hat A,\,\hat B\right] C ^ [ A ^ , B ^ ] (4.1.7) の順序（B ^ \hat B B ^ C ^ \hat C C ^
Leibniz 則を保つ括弧は交換子に限られる
逆向きの問いを立てる。非可換な積を持つ演算子の集まりの上に、反対称で、順序を保った Leibniz 則（両方の引数で）を満たす括弧 { ⋅ , ⋅ } q \{\cdot,\cdot\}_{\mathrm q} { ⋅ , ⋅ } q 1 1 P. A. M. Dirac (1925), Proc. R. Soc. Lond. A 109 , 642–653.
{ u 1 u 2 , v 1 v 2 } q \{u_1u_2,v_1v_2\}_{\mathrm q} { u 1 u 2 , v 1 v 2 } q
{ u 1 , v 1 } q v 2 u 2 + v 1 { u 1 , v 2 } q u 2 + u 1 { u 2 , v 1 } q v 2 + u 1 v 1 { u 2 , v 2 } q , \{u_1,v_1\}_{\mathrm q}v_2u_2+v_1\{u_1,v_2\}_{\mathrm q}u_2+u_1\{u_2,v_1\}_{\mathrm q}v_2+u_1v_1\{u_2,v_2\}_{\mathrm q}, { u 1 , v 1 } q v 2 u 2 + v 1 { u 1 , v 2 } q u 2 + u 1 { u 2 , v 1 } q v 2 + u 1 v 1 { u 2 , v 2 } q ,
先に第2引数を分けると
{ u 1 , v 1 } q u 2 v 2 + u 1 { u 2 , v 1 } q v 2 + v 1 { u 1 , v 2 } q u 2 + v 1 u 1 { u 2 , v 2 } q . \{u_1,v_1\}_{\mathrm q}u_2v_2+u_1\{u_2,v_1\}_{\mathrm q}v_2+v_1\{u_1,v_2\}_{\mathrm q}u_2+v_1u_1\{u_2,v_2\}_{\mathrm q}. { u 1 , v 1 } q u 2 v 2 + u 1 { u 2 , v 1 } q v 2 + v 1 { u 1 , v 2 } q u 2 + v 1 u 1 { u 2 , v 2 } q .
2つは等しくなければならない。中央の2項は共通なので、残りを比べて
{ u 1 , v 1 } q ( u 2 v 2 − v 2 u 2 ) = ( u 1 v 1 − v 1 u 1 ) { u 2 , v 2 } q (4.1.8) \{u_1,v_1\}_{\mathrm q}\,(u_2v_2-v_2u_2)=(u_1v_1-v_1u_1)\,\{u_2,v_2\}_{\mathrm q}\tag{4.1.8} { u 1 , v 1 } q ( u 2 v 2 − v 2 u 2 ) = ( u 1 v 1 − v 1 u 1 ) { u 2 , v 2 } q ( 4.1.8 )
を得る。u 1 , v 1 u_1,v_1 u 1 , v 1 u 2 , v 2 u_2,v_2 u 2 , v 2
{ u , v } q = k ( u v − v u ) = k [ u , v ] (4.1.9) \{u,v\}_{\mathrm q}=k\,(uv-vu)=k\left[u,\,v\right]\tag{4.1.9} { u , v } q = k ( uv − v u ) = k [ u , v ] ( 4.1.9 )
で、k k k (4.1.8) の両辺はどちらも 0 0 0
定数 k k k
残るのは定数 k k k U ^ ( ϵ ) = e − i ϵ G ^ / ℏ \hat U(\epsilon)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar} U ^ ( ϵ ) = e − i ϵ G ^ /ℏ δ A ^ = U ^ † A ^ U ^ − A ^ = ϵ [ A ^ , G ^ ] / ( i ℏ ) \delta\hat A=\hat U^\dagger\hat A\hat U-\hat A=\epsilon\left[\hat A,\,\hat G\right]/(\mathrm{i}\hbar) δ A ^ = U ^ † A ^ U ^ − A ^ = ϵ [ A ^ , G ^ ] / ( i ℏ ) δ A = ϵ { A , G } \delta A=\epsilon\{A,G\} δ A = ϵ { A , G } k k k
確率を保つ変換はユニタリ U ^ † U ^ = 1 ^ \hat U^\dagger\hat U=\hat 1 U ^ † U ^ = 1 ^ ϵ \epsilon ϵ U ^ ( ϵ ) = e − i ϵ G ^ / ℏ \hat U(\epsilon)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar} U ^ ( ϵ ) = e − i ϵ G ^ /ℏ G ^ \hat G G ^ U ^ \hat U U ^ i \mathrm{i} i ℏ \hbar ℏ ϵ G ^ \epsilon\hat G ϵ G ^ U ^ ( a ) = e − i a p ^ / ℏ \hat U(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar} U ^ ( a ) = e − i a p ^ /ℏ a a a U ^ ( a ) † q ^ U ^ ( a ) = q ^ + a \hat U(a)^\dagger\hat q\,\hat U(a)=\hat q+a U ^ ( a ) † q ^ U ^ ( a ) = q ^ + a a a a
q ^ + i a ℏ [ p ^ , q ^ ] + ⋯ = q ^ + a ⟹ [ q ^ , p ^ ] = i ℏ (4.1.10) \hat q+\frac{\mathrm{i} a}{\hbar}\left[\hat p,\,\hat q\right]+\cdots=\hat q+a\quad\Longrightarrow\quad \left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar\tag{4.1.10} q ^ + ℏ i a [ p ^ , q ^ ] + ⋯ = q ^ + a ⟹ [ q ^ , p ^ ] = i ℏ ( 4.1.10 )
となる。古典の { q , p } = 1 \{q,p\}=1 { q , p } = 1 k = 1 / ( i ℏ ) k=1/(\mathrm{i}\hbar) k = 1/ ( i ℏ )
k k k A ^ , B ^ \hat A,\hat B A ^ , B ^ [ A ^ , B ^ ] † = [ B ^ , A ^ ] = − [ A ^ , B ^ ] \left[\hat A,\,\hat B\right]^\dagger=\left[\hat B,\,\hat A\right]=-\left[\hat A,\,\hat B\right] [ A ^ , B ^ ] † = [ B ^ , A ^ ] = − [ A ^ , B ^ ] { A , B } \{A,B\} { A , B } i \mathrm{i} i ℏ \hbar ℏ h = 6.62607015 × 10 − 34 J s h=6.62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} h = 6.62607015 × 1 0 − 34 J s ℏ = h / ( 2 π ) ≈ 1.055 × 10 − 34 J s \hbar=h/(2\pi)\approx1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} ℏ = h / ( 2 π ) ≈ 1.055 × 1 0 − 34 J s
例題 4.1.2 運動量の関数との交換子と有限の並進 ★★
オリジナル [ q ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ q ^ , p ^ ] = i ℏ
(1) 自然数 n n n [ q ^ , p ^ n ] = i ℏ n p ^ n − 1 \left[\hat q,\,\hat p^n\right]=\mathrm{i}\hbar\,n\hat p^{n-1} [ q ^ , p ^ n ] = i ℏ n p ^ n − 1 f f f [ q ^ , f ( p ^ ) ] = i ℏ f ′ ( p ^ ) \left[\hat q,\,f(\hat p)\right]=\mathrm{i}\hbar f'(\hat p) [ q ^ , f ( p ^ ) ] = i ℏ f ′ ( p ^ ) { q , f ( p ) } \{q,f(p)\} { q , f ( p )} (2) U ^ ( a ) = e − i a p ^ / ℏ \hat U(a)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar} U ^ ( a ) = e − i a p ^ /ℏ U ^ ( a ) † q ^ U ^ ( a ) = q ^ + a \hat U(a)^\dagger\hat q\,\hat U(a)=\hat q+a U ^ ( a ) † q ^ U ^ ( a ) = q ^ + a
解答 (1) n = 1 n=1 n = 1 n n n (4.1.7) から[ q ^ , p ^ n + 1 ] = [ q ^ , p ^ n ] p ^ + p ^ n [ q ^ , p ^ ] = i ℏ n p ^ n + i ℏ p ^ n = i ℏ ( n + 1 ) p ^ n \left[\hat q,\,\hat p^{n+1}\right]=\left[\hat q,\,\hat p^n\right]\hat p+\hat p^n\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar n\hat p^{n}+\mathrm{i}\hbar\hat p^n=\mathrm{i}\hbar(n+1)\hat p^n [ q ^ , p ^ n + 1 ] = [ q ^ , p ^ n ] p ^ + p ^ n [ q ^ , p ^ ] = i ℏ n p ^ n + i ℏ p ^ n = i ℏ ( n + 1 ) p ^ n f ( p ^ ) = ∑ n c n p ^ n f(\hat p)=\sum_nc_n\hat p^n f ( p ^ ) = ∑ n c n p ^ n [ q ^ , f ( p ^ ) ] = i ℏ ∑ n n c n p ^ n − 1 = i ℏ f ′ ( p ^ ) \left[\hat q,\,f(\hat p)\right]=\mathrm{i}\hbar\sum_nnc_n\hat p^{n-1}=\mathrm{i}\hbar f'(\hat p) [ q ^ , f ( p ^ ) ] = i ℏ ∑ n n c n p ^ n − 1 = i ℏ f ′ ( p ^ ) { q , f ( p ) } = f ′ ( p ) \{q,f(p)\}=f'(p) { q , f ( p )} = f ′ ( p ) { ⋅ , ⋅ } → [ ⋅ , ⋅ ] / ( i ℏ ) \{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar) { ⋅ , ⋅ } → [ ⋅ , ⋅ ] / ( i ℏ )
(2) (1) を f ( p ) = e − i a p / ℏ f(p)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ap/\hbar} f ( p ) = e − i a p /ℏ [ q ^ , U ^ ] = i ℏ ⋅ ( − i a / ℏ ) U ^ = a U ^ \left[\hat q,\,\hat U\right]=\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i} a/\hbar)\hat U=a\hat U [ q ^ , U ^ ] = i ℏ ⋅ ( − i a /ℏ ) U ^ = a U ^ q ^ U ^ = U ^ ( q ^ + a ) \hat q\hat U=\hat U(\hat q+a) q ^ U ^ = U ^ ( q ^ + a ) U ^ † \hat U^\dagger U ^ † U ^ † q ^ U ^ = q ^ + a \hat U^\dagger\hat q\hat U=\hat q+a U ^ † q ^ U ^ = q ^ + a [ [ q ^ , p ^ ] , p ^ ] = 0 \left[\left[\hat q,\,\hat p\right],\,\hat p\right]=0 [ [ q ^ , p ^ ] , p ^ ] = 0 0 0 0 a a a U ^ ( a ) ψ ( x ) = ψ ( x − a ) \hat U(a)\psi(x)=\psi(x-a) U ^ ( a ) ψ ( x ) = ψ ( x − a ) e − a d / d x \mathrm{e}^{-a\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x} e − a d / d x p p p
1 P. A. M. Dirac (1925), Proc. R. Soc. Lond. A 109 , 642–653.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
