生成子で関数を動かす：Poisson 括弧の定義

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.1　★★★ 生成子 $G$ が点を動かすとき、関数 $A$ の値の変化は $\epsilon\{A,G\}$。括弧の中身は連鎖律だけで決まる

第1部第9章では、相空間の点を少しだけ動かす変換を、1つの関数 $G(q,p)$ で決まる形$\delta q_i=\epsilon\,\partial G/\partial p_i$、$\delta p_i=-\epsilon\,\partial G/\partial q_i$ に書き、$G$ をその変換の生成子と呼んだ。運動量 $p$ は並進を、角運動量 $L_z$ は $z$ 軸のまわりの回転を、Hamiltonian $H$ は時間 $\epsilon=\mathrm{d} t$ の時間発展を生成する。第1部第10章では、Lagrangian を変えない変換の生成子がそのまま保存量になること（Noether の定理）を示した。ただし、生成子が動かすのは点 $(q,p)$ だけではない。点が動けば、その点で値をとる関数 $A(q,p)$（エネルギー・角運動量・座標そのもの）の値も一緒に変わる。この章では、その変化を計算する演算をPoisson 括弧 $\{A,G\}$ として定義し、変換についての問いをすべてこの1つの演算で書き直す。

この章で作る道具は5つある。1つ目は定義そのもので、$\delta A=\epsilon\{A,G\}$ という形から、括弧の中身が連鎖律だけで決まることを確かめる。2つ目は括弧の代数（反対称性・Leibniz 則・Jacobi 恒等式）で、これがあれば括弧を偏微分に戻さずに計算することができる。3つ目は時間発展の式 $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$ で、ここから「$G$ が保存する」と「$G$ の変換で $H$ が変わらない」が同じ条件 $\{G,H\}=0$ になる。4つ目は有限の大きさの変換で、無限小の変換を繰り返した結果が括弧を何重にも重ねた級数（Lie 級数）で書けることを示す。5つ目は2つの変換を続けて行うときの順番の問題で、順番を入れ替えたときの食い違いが2つの生成子の括弧 $\{F,G\}$ の生成する変換になる。最後に、量子力学で習う交換子 $[\hat A,\hat B]/(\mathrm{i}\hbar)$ と Heisenberg の運動方程式が、この章の式と同じ形をしていることを並べる。

点の変化から関数の変化へ

自由度 $f$ の系の相空間の点を $(q,p)=(q_1,\dots,q_f,p_1,\dots,p_f)$ と書く。第1部第9章の無限小変換は

$$\delta q_i=\epsilon\frac{\partial G}{\partial p_i},\qquad \delta p_i=-\epsilon\frac{\partial G}{\partial q_i}\qquad(i=1,\dots,f)\tag{1.11.1}$$

である。ここで $\epsilon$ は小さい実数のパラメータ、$G(q,p)$ は変換を決める関数（生成子）である。相空間上の関数 $A(q,p)$ を1つとり、点を式 (1.11.1) だけ動かしたときの $A$ の値の変化を $\epsilon$ の1次まで求める。この計算は第1部第9章の式 (1.9.15) で連鎖律から済ませてあり、結果は

$$\delta A=\epsilon\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}\Bigr)$$

である。右辺の和は $A$ と $G$ だけで決まり、点の動かし方の情報はすべて $G$ に入っている。第9章の式 (1.9.15) で略記として導入した括弧を、ここで正式に定義して性質を調べる。

この記号を使うと、生成子 $G$ による関数の変化は

$$\delta A=\epsilon\{A,G\}\tag{1.11.3}$$

の1行になる。$A=q_i$ と $A=p_i$ を入れると $\{q_i,G\}=\partial G/\partial p_i$、$\{p_i,G\}=-\partial G/\partial q_i$ なので、式 (1.11.3) は式 (1.11.1) を特別な場合として含む。つまり、点の変化は「座標という関数の変化」として読み直すことができ、括弧 $\{\cdot,G\}$ はどの関数にも同じ形で当たる。この章で $\{A,G\}$ と書くとき、右に置いた $G$ が「動かす側」、左に置いた $A$ が「動かされる側」である。

基本の括弧

座標と運動量どうしの括弧を定義から計算すると

$$\{q_i,q_j\}=0,\qquad \{p_i,p_j\}=0,\qquad \{q_i,p_j\}=\delta_{ij}\tag{1.11.4}$$

になる。$\{q_i,p_j\}$ では、和の第1項 $\frac{\partial q_i}{\partial q_k}\frac{\partial p_j}{\partial p_k}=\delta_{ik}\delta_{jk}$ だけが残る。この3つを基本の括弧と呼ぶ。式 (1.11.3) で読むと、$\{q_i,p_j\}=\delta_{ij}$ は「$p_j$ を生成子にすると $q_j$ だけが $\epsilon$ ずれ、他の座標は動かない」ことを言っている（$p_j$ は $q_j$ 方向の並進の生成子）。逆に $\{p_j,q_i\}=-\delta_{ij}$ なので、$q_i$ を生成子にすると $p_i$ が $-\epsilon$ ずれる。座標を生成子にすると運動量が一様にずれる。

符号の流儀は記法の正本どおりで、$\{q,p\}=+1$ となる向きに定義した（この本の流儀）。教科書によっては逆の符号で定義しているので、読み比べるときは $\{q,p\}$ の値を最初に確かめるとよい（1.11.6節）。

3つの生成子で見る

第1部第9章で扱った3つの生成子を、関数の変化として書き並べる。

• 並進 $G=p_x$：$\delta A=\epsilon\{A,p_x\}=\epsilon\,\frac{\partial A}{\partial x}$。関数を $x$ 方向に $\epsilon$ ずらしたときの1次の変化そのものである。
• 回転 $G=L_z=xp_y-yp_x$：$\{x,L_z\}=\frac{\partial L_z}{\partial p_x}=-y$、$\{y,L_z\}=\frac{\partial L_z}{\partial p_y}=x$ なので $\delta x=-\epsilon y$, $\delta y=\epsilon x$。$z$ 軸の正の側から見て反時計回りに角度 $\epsilon$ だけ回転する。運動量も $\{p_x,L_z\}=-p_y$, $\{p_y,L_z\}=p_x$ で同じ向きに回転する。
• 時間発展 $G=H$, $\epsilon=\mathrm{d} t$：$\delta A=\mathrm{d} t\,\{A,H\}$。$A=q_i$, $p_i$ とすると $\dot q_i=\{q_i,H\}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$、$\dot p_i=\{p_i,H\}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$ で、Hamilton 方程式そのものになる。

3つ目は、時間発展を「$H$ が生成する変換」として読むという第1部第9章の見方を、関数に広げたものである。図 1.11.1 に、1自由度の相空間で3種類の生成子が点を動かす向きを描いた。

図の3つの場合とも、点は $G$ の等高線に沿って動いている。これは $\delta G=\epsilon\{G,G\}$ で、定義 (1.11.2) の2つの項が打ち消し合って $\{G,G\}=0$ になるからである。生成子は、自分が生成する変換では値を変えない。時間発展では、これは $H$ が時間を陽に含まなければエネルギーが保存することにあたる。