授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.6　★★★ 量子力学の交換子 $[\hat A,\hat B]/(\mathrm{i}\hbar)$ と Heisenberg の運動方程式は、この章の式と1対1に対応する

量子力学の交換子

学部の量子力学の授業では、正準交換関係 $[\hat q,\hat p]=\mathrm{i}\hbar$ から出発し、時間発展を Heisenberg の運動方程式$\frac{\mathrm{d} \hat A_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat A_{\mathrm H},\hat H]+\Bigl(\frac{\partial \hat A}{\partial t}\Bigr)_{\mathrm H}$ で書く。並進は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat p/\hbar}$、回転は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta\hat L_z/\hbar}$ で表し、角運動量の交換関係 $[\hat L_x,\hat L_y]=\mathrm{i}\hbar\hat L_z$ を使って固有値を求める。この章の式と並べると、Poisson 括弧を交換子に置き換える規則

$$\{A,B\}\ \longrightarrow\ \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}[\hat A,\hat B]\tag{1.11.19}$$

で、次の表のように1対1に対応する（この本の符号の流儀では、両方の右に生成子を置く）。

有限の変換の行は、$\hat A(\epsilon)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}\hat A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar}$ を $\epsilon$ で微分すると $\frac{\mathrm{d} \hat A}{\mathrm{d} \epsilon}=[\hat A(\epsilon),\hat G]/(\mathrm{i}\hbar)$ になることから出る。これを $\epsilon$ について展開すると $\hat A+\epsilon[\hat A,\hat G]/(\mathrm{i}\hbar)+\frac{\epsilon^2}{2!}[[\hat A,\hat G],\hat G]/(\mathrm{i}\hbar)^2+\cdots$ で、Lie 級数 (1.11.15) の括弧をすべて交換子に置き換えた形になる。交換子も反対称性・線形性・Leibniz 則（$[\hat A\hat B,\hat C]=\hat A[\hat B,\hat C]+[\hat A,\hat C]\hat B$）・Jacobi 恒等式を満たすので、1.11.2節から1.11.5節の議論は、ほぼそのまま量子力学に持ち込むことができる。授業で「運動量は並進の生成子」「角運動量は回転の生成子」と習う内容は、古典力学の段階ですでに式 (1.11.3) として成り立っている。

ただし規則 (1.11.19) は、どの関数にも同じように当たるわけではない。演算子の積は順序によって値が変わるので、$qp$ のような積を演算子に直すとき、$\hat q\hat p$ と $\hat p\hat q$ のどちらにするかを決めなければならない。下の例題で見るように、$q^2$ と $p^2$ の括弧と交換子では、順序の決め方の分だけ食い違いが出る。この問題をどう扱うかは 第4部第1章 で扱い、Heisenberg 描像との対応は 第4部第3章 で詳しく見る。

解析力学の教科書の書き方

解析力学の教科書の多くは、Poisson 括弧を式 (1.11.2) の形で定義として与え、連鎖律から式 (1.11.10) を出す。この章との違いは、出発点を「生成子による関数の変化 $\delta A=\epsilon\{A,G\}$」に置いたかどうかである。定義の式そのものは同じで、「時間発展の式に出てくる便利な組み合わせ」として括弧を導入すると、並進・回転・時間発展が同じ演算で書けることが見えにくい。

符号の流儀は教科書によって分かれる。Goldstein の教科書はこの本と同じ $\{q,p\}=+1$ だが、Landau–Lifshitz の力学の教科書は2つの項を逆の順に書き、$[q,p]=-1$、時間発展を $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial f}{\partial t}+[H,f]$ と書く（括弧の中の順番が逆になる）。どちらの流儀でも物理の内容は同じで、左右の引数を入れ替えれば一方から他方へ移る。読み比べるときは、基本の括弧 $\{q,p\}$ の値と、時間発展の式で $H$ がどちらの引数に入っているかを最初に確かめる。