時間発展と保存量

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.3　★★★ $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$。$\{G,H\}=0$ は「$G$ が保存する」と「$G$ の変換で $H$ が変わらない」を同時に言う

運動方程式を括弧で書く

時間を陽に含まない関数 $A(q,p)$ については、第1部第9章の式 (1.9.19) で $\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\{A,H\}$ が出ている。ここで足すのは、$A$ が時刻を陽に含むときの $\frac{\partial A}{\partial t}$ の項だけである。相空間の関数 $A(q,p,t)$ を運動の軌道 $(q(t),p(t))$ に沿って時間微分すると、連鎖律と Hamilton 方程式から

$$\frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} t}=\sum_{i=1}^f\Bigl(\frac{\partial A}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial A}{\partial p_i}\dot p_i\Bigr)+\frac{\partial A}{\partial t} =\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}\tag{1.11.10}$$

を得る。第1項は「時刻 $\mathrm{d} t$ の間に $H$ が点を動かした分の変化」で、式 (1.11.3) の $G=H$, $\epsilon=\mathrm{d} t$ の場合にあたる。第2項は $A$ の形そのものが時刻とともに変わる分である。Hamilton 方程式 $\dot q_i=\{q_i,H\}$, $\dot p_i=\{p_i,H\}$ は、式 (1.11.10) を座標と運動量に当てたものになる。

この式から、時間を陽に含まない関数 $A(q,p)$ が保存する条件は $\{A,H\}=0$ である。$H$ 自身が時間を陽に含まなければ、$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\{H,H\}=0$ でエネルギーが保存する。

Noether の定理を括弧で書く

$G(q,p)$ を時間を陽に含まない関数とする。反対称性 (1.11.5) から、次の2つの式は同じ1つの式である。

$$\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t}=\{G,H\}=-\{H,G\}=-\frac{\delta H}{\epsilon}\qquad(\delta H\text{ は }G\text{ が生成する変換による }H\text{ の変化}).\tag{1.11.11}$$

この定理は、第1部第10章の命題 1.10.3 を括弧で書き直したものである。証明は式 (1.11.11) の1行で足りる。

第1部第10章では、Lagrangian $L$ を変えない変換 $\delta q_i=\epsilon K_i(q)$ から保存量 $Q=\sum_ip_iK_i$ を作った。定理 1.11.3 はその Hamilton 形式の版で、2つの点で形が変わっている。1つ目は、変換が $q$ だけでなく $p$ も混ぜてよいことである（$G$ は $q$ と $p$ の任意の関数でよい）。2つ目は、向きが両方向になったことである。保存量 $G$ が見つかれば、それを生成子にした変換は必ず $H$ の対称性になる。Lagrangian 形式で変換を $q$ だけの変換に限っている限り、保存量から対称性へ戻る向きは一般には成り立たない。

調和振動子 $H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2$ を例にとる。$H$ 自身は保存するので、$H$ が生成する変換（時間発展）で $H$ は変わらない。2次元の等方的な調和振動子では、$L_z$ のほかに $H_x-H_y$（$x$ 方向と $y$ 方向のエネルギーの差）も保存し、それが生成する変換は $q$ と $p$ を混ぜる。この変換は座標空間の変換としては書けないので、Lagrangian 形式の Noether の定理（$\delta q=\epsilon K(q)$ の形）からは出てこない。章末の総合問題で扱う。

$H$ だけが特別に見える理由

3つの生成子との括弧を並べると、どれも「その変換でずらした向きの微分」になる。

$$\{F,p_x\}=\frac{\partial F}{\partial x},\qquad\{F,L_z\}=\frac{\partial F}{\partial \theta},\qquad\{F,H\}=\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}\tag{1.11.12}$$

ここで $\partial F/\partial\theta$ は、位置と運動量を一緒に $z$ 軸のまわりに回す角度での微分である。最後の式は $F$ が時刻を陽に含まない場合に限る。3つの式は同じ形をしていて、括弧の上では $H$ だけが特別な位置にあるわけではない。

$H$ が特別に見えるのは、運動を追うパラメータに時刻を選んだからである。時刻を選ぶと、時刻をずらす生成子が発展を進める量になり、残りの生成子は発展の間に一定かどうかを調べる量になる。

定理 1.11.3 の式 $\{p_x,H\}=0$ は、この非対称を取り払うと2通りに読める。1つは、時間発展で $p_x$ が変わらないこと（運動量の保存）である。もう1つは、$x$ 方向にずらしても $H$ が変わらないこと（並進の対称性）である。

発展のパラメータは時刻でなくてもよい。この巻のほかの章に、次の3つの例がある。

1. 光線：第2部第10章では、光軸の座標 $z$ を発展のパラメータに選んだ。$z$ をずらす生成子は光線の Hamiltonian

$$H_{\text{光}}(x,y,p_x,p_y;z)=-\sqrt{n(x,y,z)^2-p_x^2-p_y^2}$$

で、$-H_{\text{光}}$ が $z$ 方向の運動量の役をする。2. 相対論：第2部第3章では、エネルギーと運動量が4元運動量 $p^\mu=(E/c,\bm{p})$ にまとまる。時刻とエネルギーの組は、位置と運動量の組と同じ関係にある。3. 量子力学：時間発展の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$ と並進の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat pa/\hbar}$ は同じ形のユニタリ演算子である（第1部第9章・第4部第2章）。

時間を陽に含む保存量と Poisson の定理

$G$ が時間を陽に含む場合は、式 (1.11.10) の2つの項が打ち消し合えば保存する。$\{G,H\}\neq0$ でも保存量になりうる。自由粒子 $H=p^2/(2m)$ の $K=mq-pt$ がその例で、$\{K,H\}=m\{q,H\}=p$、$\frac{\partial K}{\partial t}=-p$ なので $\frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{d} t}=0$ である。$K/m=q-pt/m$ は「時刻 $0$ での位置」で、等速運動ではこれが一定になる。$K$ は Galilei 変換（一定の速度で動く座標系への乗り移り）の生成子で、$\delta q=\epsilon\{q,K\}=-\epsilon t$, $\delta p=\epsilon\{p,K\}=-\epsilon m$ は、速度を $-\epsilon$ だけずらす変換である。

保存量を2つ持っていれば、その括弧も保存量になる。

証明

式 (1.11.10) を $\{F,G\}$ に当てる。Jacobi 恒等式 (1.11.8) を $(H,F,G)$ に使い反対称性で並べ替えると$\{\{F,G\},H\}=\{F,\{G,H\}\}+\{\{F,H\},G\}$ となる。時間の偏微分は積の微分と同じ規則で括弧の中に入るので$\frac{\partial }{\partial t}\{F,G\}=\{\frac{\partial F}{\partial t},G\}+\{F,\frac{\partial G}{\partial t}\}$。両方を足すと

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\{F,G\}=\Bigl\{F,\frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t}\Bigr\}+\Bigl\{\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t},G\Bigr\}\tag{1.11.13}$$

を得る。仮定から右辺は $0$ である。

式 (1.11.13) は、時間微分が括弧に対して積の微分と同じ規則で当たることを言っている。Poisson の定理はその特別な場合である。たとえば中心力の中の粒子では $L_x$ と $L_y$ が保存するので、式 (1.11.9) から $L_z=\{L_x,L_y\}$ も保存する。ただし、括弧から新しい保存量が出るとは限らない。$\{F,G\}$ が $0$ や定数、あるいはすでに知っている保存量の関数になることも多い（自由粒子の $K$ と $p$ では $\{K,p\}=m$ で定数になる）。

相空間に点の集まりを広げたときの密度 $\rho(q,p,t)$ は、点と一緒に流れるので $\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t}=0$、すなわち $\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\{\rho,H\}=\{H,\rho\}$ を満たす。これが Liouville 方程式で、統計力学の出発点になる（第3部第1章）。