括弧の代数：反対称性・Leibniz 則・Jacobi 恒等式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.2　★★★ 3つの性質と基本の括弧があれば、偏微分に戻らずに括弧を計算することができる

3つの性質

定義 (1.11.2) から直接、次の性質が出る。

ここで導入した $\mathsf D_X$ は、$X$ を生成子として関数を動かす作用素で、式 (1.11.3) は $\delta A=\epsilon\,\mathsf D_GA$ と書くことができる。1.11.4節と1.11.5節では、この作用素を何回も続けて当てる。

それぞれの性質の意味

3つの性質は、生成子で関数を動かす操作として読むと意味がはっきりする。反対称性 $\{A,G\}=-\{G,A\}$ は、「$G$ で動かしたときの $A$ の変化率」と「$A$ で動かしたときの $G$ の変化率」が符号を除いて等しいことを言っている。1.11.3節では、この性質が「対称性と保存量が同じ条件で表される」ことにつながる。

Leibniz 則は、変換が関数の積に対して積の微分と同じ規則で当たることを言っている。$\delta(AB)=(\delta A)B+A(\delta B)$ は、点を動かしたときの積の変化を1次まで書いたもので、式 (1.11.3) を使えば Leibniz 則と同じ式になる。これがあるので、多項式の括弧は基本の括弧 (1.11.4) に分解して計算することができる。

Jacobi 恒等式は、1.11.5節で示すように、「2つの変換を続けて行ったときの順番の食い違いが、生成子どうしの括弧で生成される」ことを保証する。この性質がなければ、変換を合成した結果を生成子の言葉で書くことはできない。

角運動量の括弧

3次元の1粒子の角運動量 $\bm{L}=\bm{r}\times\bm{p}$ の成分は $L_x=yp_z-zp_y$, $L_y=zp_x-xp_z$, $L_z=xp_y-yp_x$ である。Leibniz 則と基本の括弧 (1.11.4) を使って $\{L_x,L_y\}$ を計算する。$L_x$ と $L_y$ の積の項を4つの括弧に分けると、$\{yp_z,zp_x\}$, $\{yp_z,-xp_z\}$, $\{-zp_y,zp_x\}$, $\{-zp_y,-xp_z\}$ の和になる。2つ目は $y,p_z$ と $x,p_z$ の間に基本の括弧が $0$ でない組がないので $0$、3つ目も同じ理由で $0$ である。1つ目は Leibniz 則で $y\{p_z,z\}p_x=-yp_x$、4つ目は $\{z,p_z\}p_yx=xp_y$ になる。よって

$$\{L_x,L_y\}=L_z,\qquad \{L_y,L_z\}=L_x,\qquad \{L_z,L_x\}=L_y\tag{1.11.9}$$

を得る（残りの2つは添字を $x\to y\to z\to x$ と巡回させれば同じ計算になる）。回転の生成子どうしの括弧が再び回転の生成子になっていることに注意する。1.11.5節で、これが「$x$ 軸のまわりと $y$ 軸のまわりの回転は順番を入れ替えると $z$ 軸のまわりの回転の分だけ食い違う」ことを表すと分かる。