生成子どうしの括弧：変換の順番

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第11章 §1.11.5　★★ $F$ と $G$ で順に動かして戻ると、$\{G,F\}$ の生成する変換の分だけ元の点から外れる。生成子の括弧は変換の非可換性を測る

2つの変換を順に行って戻る

並進の生成子 $p_x$ と $p_y$ による変換は、どちらを先に行っても行き先が同じになる。回転では事情が違い、$x$ 軸のまわりに回転してから $y$ 軸のまわりに回転した結果と、逆の順番に行った結果は一致しない。この食い違いを生成子で表す。

相空間の点 $x$ を、$F$ の流れで $\epsilon$、$G$ の流れで $\eta$、$F$ の流れで $-\epsilon$、$G$ の流れで $-\eta$ の順に動かす。2つの変換が可換なら、最後に元の点 $x$ に戻る。

式の途中で現れた

$$\mathsf D_F\mathsf D_G-\mathsf D_G\mathsf D_F=\mathsf D_{\{G,F\}}\tag{1.11.18}$$

が、この節の中心の式である。左辺は「関数を動かす2つの作用素の交換子」、右辺は「生成子の括弧が生成する作用素」で、Jacobi 恒等式はこの2つが等しいことを保証している。特に、2つの生成子の括弧が $0$（または定数。定数の生成子は何も動かさない）なら、2つの変換は2次まで可換である。並進 $p_x$, $p_y$ では $\{p_x,p_y\}=0$ で可換、回転では $\{L_y,L_x\}=-L_z$ なので、$x$ 軸と $y$ 軸のまわりの回転を順に行って戻ると、$z$ 軸のまわりに角度 $-\epsilon\eta$ だけ回転した位置に着く。

相空間の図で見る

1自由度の例で、食い違いを図にする。$F=p$ は $q$ を $\epsilon$ ずらし、$G=\frac12q^2$ は $\delta p=-\eta\,\partial G/\partial q=-\eta q$ で運動量を位置に比例してずらす（位置に比例した力積を一瞬で加える力にあたる）。$G$ の変換で $p$ がずれる量は、その時点の $q$ によって違う。そのため、$q$ をずらしてから $p$ をずらしたときと、$p$ をずらしてから $q$ を戻したときとで、$p$ のずれ方がそろわない（図 1.11.3）。

図 1.11.3　$F=p$ と $G=\frac12q^2$ で順に動かして戻る（$q_0=0.5$, 運動量の初期値 $1.3$, $\epsilon=1$, $\eta=0.6$）。②では $q=q_0+\epsilon$ の位置で $p$ が $\eta(q_0+\epsilon)$ 減り、④では $q=q_0$ の位置で $\eta q_0$ しか戻らない。差の $\epsilon\eta$ だけ運動量が下がった点に着く。これは $\{G,F\}=\{\tfrac12q^2,p\}=q$ の流れで $\epsilon\eta$ 動かした点（$\delta p=-\epsilon\eta$）に一致する

この例では $\epsilon$, $\eta$ の大きさによらず、ずれはちょうど $-\epsilon\eta$ になる（図の値で $1.3\to0.7$）。式 (1.11.17) は一般には2次までの式だが、生成子が2次以下の多項式の組では Lie 級数が途中で終わるので、2次の式がそのまま正確になる。

生成子の集まりが閉じること

式 (1.11.18) から、変換の集まりについて次のことが分かる。いくつかの生成子 $G_1,\dots,G_r$ の括弧がすべてそれらの1次結合で書けるとき（たとえば式 (1.11.9) の角運動量の3成分）、それらが生成する変換を何回合成しても、生成子の1次結合が生成する変換の範囲に収まる。回転の生成子の括弧は回転の生成子になり、回転を合成しても回転になることと対応している。並進 $p_x,p_y,p_z$ と回転 $L_x,L_y,L_z$ を合わせても $\{p_x,L_z\}=-p_y$ のように閉じている。このように括弧で閉じた生成子の集まりを Lie 代数と呼ぶ。量子力学の角運動量の交換関係は、式 (1.11.9) の Lie 代数をそのまま写したものである（第4部第5章）。