この章で選ぶ $\hat H$：回転で変わらない Hamiltonian

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.1　★★★ 波動関数を回す演算子を作り、その生成子が $\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ であることを確かめる。「回転で変わらない $\hat H$」をこの演算子で定義する

古典力学では、Lagrangian が回転で変わらなければ角運動量が保存する（第1部第10章）。そのとき角運動量は回転の生成子で、角運動量で相空間を動かすと回転が再現される（第1部第9章・第1部第11章）。この章では同じ組み立てを量子力学で行う。選ぶものは回転で変わらない Hamiltonian $\hat H$ で、当てる道具は Noether の定理の量子版、つまり「生成子 $\hat G$ が $\hat H$ と可換なら $\hat G$ は保存し、逆も成り立つ」という命題である。

量子力学に移ると、古典力学には無かったものが2つ出てくる。1つ目は固有値の離散性である。角運動量の3成分の交換関係$\left[\hat L_x,\,\hat L_y\right]=\mathrm{i}\hbar\hat L_z$ は、第1部第11章の Poisson 括弧 $\{L_x,L_y\}=L_z$ を写しただけのものだが、この関係だけから$\hat L^2$ の固有値が $l(l+1)\hbar^2$ に、$\hat L_z$ の固有値が $m\hbar$（$m=-l,\dots,l$）に決まり、さらに半整数の値（スピン）も許されることが分かる。2つ目はエネルギー準位の縮退である。$\hat H$ と可換な演算子の組は、同じエネルギーの状態どうしを移り合うので、対称性が大きいほど縮退が大きい。中心力では $2l+1$ 重、水素原子では Runge–Lenz ベクトルという隠れた保存量のために $n^2$ 重になる。

章の後半では、回転の一部しか残らない場合として磁場中のスピンを扱う。スピンの期待値は古典の角運動量と同じ歳差運動の方程式に従い、回転する磁場で共鳴させると向きを反転できる。これが磁気共鳴（NMR・ESR・MRI）の原理である。最後に、角運動量を微分演算子と球面調和関数で導入する授業の書き方と、この章の書き方を並べる。

この章では、粒子の質量を $M$ と書き、$m$ は $\hat L_z$ や $\hat J_z$ の固有値の番号（磁気量子数）に取っておく。空間の向きを表す極座標は $(r,\theta,\varphi)$ で、$\varphi$ が方位角である。

波動関数を回す

空間の回転 $R$（$3\times3$ の直交行列で行列式 $1$）を1つ決める。1粒子の波動関数 $\psi(\bm{r})$ を $R$ で回した波動関数を

$$\bigl(\hat U(R)\psi\bigr)(\bm{r})\coloneqq\psi(R^{-1}\bm{r})\tag{4.5.1}$$

で定める。右辺で $R^{-1}$ を使う理由は、波動関数の山の位置を考えると分かる。元の $\psi$ が点 $\bm{r}_0$ で最大なら、$\psi(R^{-1}\bm{r})$ は $R^{-1}\bm{r}=\bm{r}_0$、つまり $\bm{r}=R\bm{r}_0$ で最大になる。山が $R$ で回った先に移るので、これが「波動関数を $R$ で回す」ことになる。同じ理由で、位置の期待値は $\int\bm{r}\,\lvert \psi(R^{-1}\bm{r})\rvert ^2\mathrm{d}^3r=R\langle \bm{r} \rangle$ と回る（積分の変数を $\bm{r}'=R^{-1}\bm{r}$ に替え、回転で体積が変わらないことを使う）。$\hat U(R)$ は確率の合計を変えないのでユニタリ演算子である。

$z$ 軸のまわりに小さい角 $\epsilon$ だけ反時計回りに回す場合を計算する。$R^{-1}$ は逆回りの回転なので、$\epsilon^2$ の項を落として$R^{-1}(x,y,z)=(x+\epsilon y,\ y-\epsilon x,\ z)$ である。Taylor 展開すると

$$\begin{gathered} \psi(x+\epsilon y,\,y-\epsilon x,\,z)=\psi-\epsilon\Bigl(x\frac{\partial \psi}{\partial y}-y\frac{\partial \psi}{\partial x}\Bigr)+\mathcal{O}(\epsilon^2) =\Bigl(1-\frac{\mathrm{i}\epsilon}{\hbar}\hat L_z\Bigr)\psi+\mathcal{O}(\epsilon^2), \\ \hat L_z\coloneqq-\mathrm{i}\hbar\Bigl(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x}\Bigr)=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x \end{gathered}\tag{4.5.2}$$

となる。最後の等号は運動量の位置表示 $\hat p_j=-\mathrm{i}\hbar\,\partial/\partial x_j$ を使った。第1部第9章では、量子力学の無限小変換を $\hat U(\epsilon)=1-\mathrm{i}\epsilon\hat G/\hbar$ と書き、$\hat G$ を変換の生成子と呼んだ。式 (4.5.2) は、$z$ 軸のまわりの回転の生成子が $\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x$ であることを示している。古典の回転の生成子 $L_z=xp_y-yp_x$（第1部第9章）の $x,p_y$ を演算子に替えた形で、$\hat x$ と $\hat p_y$ は可換なので積の順序の問題は起きない。

軸を単位ベクトル $\bm{n}$ に替えても計算は同じで、無限小の回転は $1-\mathrm{i}\epsilon\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{L}}/\hbar$、生成子は

$$\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}},\qquad \hat L_x=\hat y\hat p_z-\hat z\hat p_y,\quad \hat L_y=\hat z\hat p_x-\hat x\hat p_z,\quad \hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x\tag{4.5.3}$$

である。有限の角 $\alpha$ の回転は、無限小の回転を $N$ 回重ねて $N\to\infty$ とした

$$\hat U(\alpha,\bm{n})=\lim_{N\to\infty}\Bigl(1-\frac{\mathrm{i}\alpha}{N\hbar}\bm{n}\cdot\hat{\bm{L}}\Bigr)^N=\exp\Bigl(-\frac{\mathrm{i}\alpha}{\hbar}\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{L}}\Bigr)\tag{4.5.4}$$

になる（第1部第9章の指数関数の作り方と同じ）。極座標では $x\partial_y-y\partial_x=\partial_\varphi$ なので $\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\varphi$ で、$\exp(-\mathrm{i}\alpha\hat L_z/\hbar)=\exp(-\alpha\,\partial_\varphi)$ は $\varphi$ についての Taylor 展開そのものになり、$\exp(-\mathrm{i}\alpha\hat L_z/\hbar)\psi(r,\theta,\varphi)=\psi(r,\theta,\varphi-\alpha)$ となる。式 (4.5.1) の定義と一致している。

演算子も回る。状態を $\hat U$ で回したとき、演算子 $\hat A$ の期待値は $\langle \psi | \hat U^\dagger\hat A\hat U | \psi \rangle$ に変わるので、「回した後の $\hat A$」は $\hat U^\dagger\hat A\hat U$ である。無限小では第1部第9章の式どおり

$$\hat U^\dagger\hat A\hat U=\hat A+\frac{\epsilon}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat A,\,\hat G\right]+\mathcal{O}(\epsilon^2)\tag{4.5.5}$$

で、$\hat G=\hat L_z$、$\hat A=\hat x$ とすると $\left[\hat x,\,\hat L_z\right]=-\hat y\left[\hat x,\,\hat p_x\right]=-\mathrm{i}\hbar\hat y$ から $\delta\hat x=-\epsilon\hat y$ となる。古典の回転 $\delta x=-\epsilon y$, $\delta y=+\epsilon x$（記法の正本の向き）がそのまま再現される。

回転で変わらない $\hat H$

この章で選ぶ $\hat H$ は、回転対称なものの代表として中心力の Hamiltonian

$$\hat H=\frac{\hat{\bm{p}}^{\,2}}{2M}+V(\lvert \hat{\bm{r}}\rvert )\tag{4.5.6}$$

と、回転の一部しか残らないものの代表として、軸対称な調和振動子（総合問題）と一様な磁場の中のスピン（4.5.5節）である。式 (4.5.6) が回転対称であることは、次のように分かる。$\hat U^\dagger\hat{\bm{r}}\hat U=R\hat{\bm{r}}$ で、運動量も同じく$\hat U^\dagger\hat{\bm{p}}\hat U=R\hat{\bm{p}}$ と回る（式 (4.5.5) で $\hat A=\hat p_x$ とすれば $\delta\hat p_x=-\epsilon\hat p_y$）。直交行列は長さを変えないので $\lvert R\hat{\bm{p}}\rvert ^2=\hat{\bm{p}}^{\,2}$, $\lvert R\hat{\bm{r}}\rvert =\lvert \hat{\bm{r}}\rvert$ で、$\hat H$ は変わらない。多粒子でも、運動エネルギーと、粒子間の距離 $\lvert \hat{\bm{r}}_a-\hat{\bm{r}}_b\rvert$ だけによるポテンシャルの和なら回転対称である。逆に、ポテンシャルが $x^2$ と $y^2$ で係数の違う異方的な振動子や、一様な電場の中の電子は回転対称でない。一様な電場 $\bm{E}\parallel\bm{e}_z$ の中では$z$ 軸のまわりの回転だけが残り、軸対称になる。どの回転が残るかで、次節の定理により保存する量が決まる。