出てくるもの（3）：スピンの歳差と磁気共鳴

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.5　★★ $j=\tfrac12$ の角運動量（スピン）は磁場の中で古典の角運動量と同じ式で歳差運動する。回転する座標に移ると時刻によらない問題になり、共鳴の式（Rabi の式）が出る

スピンと全角運動量

定理 4.5.4 の最も小さい半整数の場合 $j=\tfrac12$ を行列で書くと、$| \uparrow \rangle =| \tfrac12,\tfrac12 \rangle$, $| \downarrow \rangle =| \tfrac12,-\tfrac12 \rangle$ の基底で

$$\hat{\bm{S}}=\frac\hbar2\bm{\sigma},\qquad \sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0\end{pmatrix},\quad\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\tag{4.5.20}$$

となる（式 (4.5.11) で $\hat S_+| \downarrow \rangle =\hbar| \uparrow \rangle$ から作る）。電子・陽子・中性子はこの自由度を持ち、スピンと呼ぶ。スピンを持つ粒子の状態は、位置の波動関数と2成分のスピンの組 $\psi_\sigma(\bm{r})$（$\sigma=\uparrow,\downarrow$）である。

このような状態を回すには、位置の部分を回すだけでは足りず、スピンの向きも一緒に回さなければならない。回転の生成子は2つの和

$$\hat{\bm{J}}=\hat{\bm{L}}+\hat{\bm{S}}\tag{4.5.21}$$

になる（$\hat{\bm{L}}$ は位置に、$\hat{\bm{S}}$ はスピンの添字に作用し、互いに可換なので和も式 (4.5.8) の交換関係を満たす）。定理 4.5.2 を当てると、孤立した系の $\hat H$ は全体の回転で変わらないので、保存するのは $\hat{\bm{J}}$ である。$\hat{\bm{L}}$ と $\hat{\bm{S}}$ が別々に保存するのは、位置だけを回しても、スピンだけを回しても $\hat H$ が変わらない場合に限る。原子の中の電子では、スピン軌道相互作用 $\xi(r)\,\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ がこれを破る。$\hat{\bm{L}}\cdot\hat{\bm{S}}$ は位置とスピンを同時に回したときだけ変わらない量で、$\hat{\bm{J}}$ とは可換だが、$\hat{\bm{L}}$ や $\hat{\bm{S}}$ とは可換でない。どの変換で $\hat H$ が変わらないかによって、どの量が保存するかが決まる、という Noether の定理の内容がここでもそのまま現れている。

磁場の中の歳差運動

スピンは磁気モーメント $\hat{\bm{\mu}}=\gamma\hat{\bm{S}}$ を伴い、一様な磁場 $\bm{B}$ の中で $\hat H=-\hat{\bm{\mu}}\cdot\bm{B}=-\gamma\,\bm{B}\cdot\hat{\bm{S}}$ のエネルギーを持つ。$\gamma$ は磁気回転比で、粒子ごとに決まる定数である。この $\hat H$ の Heisenberg 方程式は第4部第3章で解いてあり、式 (4.3.16)・(4.3.17) の

$$\frac{\mathrm{d} \hat{\bm{S}}}{\mathrm{d} t}=\gamma\,\hat{\bm{S}}\times\bm{B}\tag{4.5.22}$$

だった。右辺が $\hat{\bm{S}}$ について1次なので、期待値 $\langle \hat{\bm{S}} \rangle$ も同じ方程式に正確に従う。

同じ式は古典の括弧だけからも出る。磁気モーメント $\gamma\bm{L}$ を持つ角運動量 $\bm{L}$ の Hamiltonian は $H=-\gamma\bm{B}\cdot\bm{L}$ で、$H$ が $\bm{L}$ だけの関数なので、$\bm{L}$ の運動方程式は第1部第11章の括弧 $\{L_i,L_j\}=\sum_k\epsilon_{ijk}L_k$ だけで閉じる。位置と運動量に戻らずに、$\bm{L}$ の3成分を座標とみなしてこの括弧で時間発展を書く形を Lie–Poisson 括弧の形と呼ぶ。計算すると

$$\frac{\mathrm{d} L_i}{\mathrm{d} t}=\{L_i,H\}=-\gamma\sum_{j}B_j\{L_i,L_j\}=-\gamma\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}B_jL_k=\gamma(\bm{L}\times\bm{B})_i$$

となる。式 (4.5.22) と同じ形で、どちらも「角運動量の時間変化はトルク $\bm{\mu}\times\bm{B}$」の式である。古典と量子で式が一致するのは、交換関係 (4.5.8) が括弧 $\{L_i,L_j\}$ を $\mathrm{i}\hbar$ 倍しただけのもので、$\hat H$ が $\hat{\bm{S}}$ について1次なので並べ方の問題も起きないからである。スピン $\frac12$ は $\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ で書けないが、運動方程式を決めるのは括弧の代数だけなので、$\bm{L}$ と同じ式に従う。

式 (4.5.22) は $\frac{\mathrm{d} \hat{\bm{S}}}{\mathrm{d} t}=(-\gamma\bm{B})\times\hat{\bm{S}}$ とも書けるので、スピンは角速度ベクトル $-\gamma\bm{B}$ で磁場のまわりを回る（Larmor 歳差）。角周波数の大きさは $\omega_0=\lvert \gamma\rvert B$ である。周波数の典型値（陽子は $1.5\,\mathrm T$ で約 $64\,\mathrm{MHz}$、電子は $1\,\mathrm T$ で約 $28\,\mathrm{GHz}$）は第4部第3章の例題 4.3.5 で求めた。前者は NMR・MRI、後者は ESR（電子スピン共鳴）で使う周波数の桁である。

回転する磁場と共鳴

$z$ 向きの強い磁場 $B_0$ に、$xy$ 面内で角周波数 $\omega$ で回る弱い磁場 $B_1$ を加える。回る向きは歳差と同じ向き（$\gamma>0$ なら上から見て時計回り）にとって、

$$\hat H(t)=-\gamma B_0\hat S_z-\gamma B_1\bigl(\cos\omega t\,\hat S_x-\sin\omega t\,\hat S_y\bigr)\tag{4.5.23}$$

とする。時刻に依存するが、$\cos\omega t\,\hat S_x-\sin\omega t\,\hat S_y=\hat V(t)\hat S_x\hat V(t)^\dagger$, $\hat V(t)\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t\hat S_z/\hbar}$ と書ける（$\hat V$ は $z$ 軸のまわりの角 $-\omega t$ の回転で、式 (4.5.5) を有限の角まで積み上げたもの）。そこで状態を $| \psi(t) \rangle =\hat V(t)| \phi(t) \rangle$ と書き、回転する座標での状態 $| \phi \rangle$ の方程式を作ると、$\mathrm{i}\hbar\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \psi \rangle =\hat H| \psi \rangle$ から

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}| \phi \rangle =\bigl(\hat V^\dagger\hat H\hat V-\mathrm{i}\hbar\hat V^\dagger\dot{\hat V}\bigr)| \phi \rangle =\bigl(\Delta\,\hat S_z-\omega_1\hat S_x\bigr)| \phi \rangle , \qquad \omega_0=\gamma B_0,\quad \omega_1=\gamma B_1,\quad \Delta=\omega-\omega_0\tag{4.5.24}$$

となる。$-\mathrm{i}\hbar\hat V^\dagger\dot{\hat V}=\omega\hat S_z$ は、回転する座標に移ったことで加わる項で、回転の生成子 $\hat S_z$ に回転の角速度を掛けた形をしている。古典力学で回転座標に移ると遠心力・Coriolis 力が加わるのと同じ種類の項で、$z$ 向きの磁場が実質的に $B_0-\omega/\gamma$ に減ったように見える。

回転する座標の Hamiltonian $\Delta\hat S_z-\omega_1\hat S_x=\frac\hbar2(\Delta\sigma_z-\omega_1\sigma_x)$ は時刻によらない $2\times2$ 行列で、固有値は $\pm\frac\hbar2\Omega'$、$\Omega'\coloneqq\sqrt{\omega_1^2+\Delta^2}$ である。はじめ $| \uparrow \rangle$ にあった状態が時刻 $t$ に $| \downarrow \rangle$ にある確率は、$2\times2$ 行列の指数関数を計算して

$$P_{\uparrow\to\downarrow}(t)=\frac{\omega_1^2}{\omega_1^2+\Delta^2}\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{4.5.25}$$

になる（$\hat V$ は $\hat S_z$ の固有状態に位相を掛けるだけなので、実験室の座標でも同じ確率）。これを Rabi の式と呼ぶ¹1I. I. Rabi (1937), Physical Review 51, 652. 回転する磁場の中のスピンの遷移確率を求め、分子線の磁気共鳴の方法の基礎にした。下の脚注へ閉じる。共鳴 $\Delta=0$ では、時間 $\pi/\omega_1$（$\pi$ パルス）でスピンが完全に反転する。共鳴からずれると反転の最大値が $\omega_1^2/(\omega_1^2+\Delta^2)$ に下がるので、反転が起きる周波数を探せば $\omega_0=\gamma B_0$、すなわち磁場の強さか磁気回転比を測ることができる。光の巻ではこの式を2準位原子と光に当てる（光学と量子エレクトロニクス 第19章）。そこでの Rabi 周波数 $\Omega$ と離調 $\Delta$ が、ここでの $\omega_1$ と $\Delta$ に対応する。

実際の装置では、回転する磁場の代わりに、コイルで $x$ 向きに振動する磁場 $2B_1\cos\omega t$ を加えることが多い。これは同じ大きさで逆向きに回る2つの磁場$B_1(\cos\omega t,-\sin\omega t)$ と $B_1(\cos\omega t,\sin\omega t)$ の和である。回転する座標では、前者は止まって見え、後者は角周波数 $2\omega$ で回って見える。後者を捨てると式 (4.5.24) に戻る。これを回転波近似と呼ぶ。捨てた項は角周波数 $2\omega\approx2\omega_0$ で速く振動するので、$\omega_1\ll\omega_0$ なら時間平均すると小さい。図 4.5.3 は $\omega_1/\omega_0=0.1$ で厳密な数値解と比べたもので、ずれは $0.03$ 程度で、速い小さな振動と、共鳴の位置の $(\omega_1/\omega_0)^2$ 程度のずれ（Bloch–Siegert のずれ²2F. Bloch and A. Siegert (1940), Physical Review 57, 522.下の脚注へ閉じる）として現れる。$\omega_1/\omega_0=0.02$ ではずれは $0.005$ に下がる。

1　I. I. Rabi (1937), Physical Review 51, 652. 回転する磁場の中のスピンの遷移確率を求め、分子線の磁気共鳴の方法の基礎にした。

2　F. Bloch and A. Siegert (1940), Physical Review 57, 522.