この章で取り出すもの：1つのモード・2準位・環境

光学と量子エレクトロニクス　第19章 §19.1　★★★ 場は古典的な単色波1つ、物質は2準位原子、そこに自然放出と衝突をもたらす環境を加える。環境を入れると状態は純粋でなくなるので、密度行列とそれを表す Bloch ベクトルを使う

第18章（第18章）では、2準位原子と単色のレーザー光の結合に双極子近似と回転波近似を当て、レーザーの周波数で回る座標の上で時間に依らない Hamiltonian

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x,\qquad\Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0,\qquad\Omega=\frac{\bm{d}_{eg}\cdot\bm{E}_0}{\hbar}$$

を得た。この章はこの Hamiltonian から出発する。

この Hamiltonian の下で状態ベクトルがどう動くかは、2行2列の行列の指数関数を計算すれば分かる。しかし実際の原子は、自然放出で光を出して下の準位へ落ち、衝突で位相を乱される。こうした過程は状態ベクトルの Schrödinger 方程式では書けず、密度行列が要る。2準位系の密度行列は3つの実数で決まり、その3つを並べたベクトル（Bloch ベクトル）は、光の下では回転し、緩和の下では縮む。回転の方程式は磁場中のスピンの歳差と同じ式で、縮み方は縦の緩和時間 $T_1$ と横の緩和時間 $T_2$ の2つで書ける。この2つを合わせたものが光 Bloch 方程式である。

19.1節で、取り出すモード・物質のモデル・結合と環境を選び、密度行列と Bloch ベクトルを定義する。19.2節で、光による回転と緩和を合わせた光 Bloch 方程式を導く。19.3節と19.4節が「出てくるもの」で、前者は時間変化（Rabi 振動・パルスの面積・減衰・エコー）、後者は定常状態（飽和・パワー広がり・弱い光での Lorentz 振動子との一致・3準位の電磁誘起透明化）を扱う。19.5節で置いた近似と実験で確かめる量を述べ、19.6節で学部の量子力学と磁気共鳴で習う形と並べ、19.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

場のモードとして、原子の位置で $\bm{E}(t)=\operatorname{Re}[\bm{E}_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm L}t}]$ と振動する単色のレーザー光を1つだけ取り出し、古典的な場として扱う。光子の数を数えず、振幅 $\bm{E}_0$ が決まった値を持つとする扱いで、半古典論と呼ぶ。レーザー光は平均の光子数が非常に大きいコヒーレント状態にあり（第31章、第31章）、その光子数の揺らぎが平均に比べて小さいことが、この扱いの根拠になる。どこまでこれが正しいかは 19.5節で札にする。

物質のモデルは、基底状態 $| g \rangle$ と励起状態 $| e \rangle$ だけを持つ2準位原子で、遷移角周波数を $\omega_0$ と書く。記法の正本に従い、$\sigma_z| e \rangle =+| e \rangle$、$\sigma_+=| e \rangle \langle g |$、$\sigma_-=| g \rangle \langle e |$ とする。結合は双極子相互作用 $\hat H_{\mathrm{int}}=-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}$ で、第18章の回転波近似の後、レーザーの周波数で回る座標（回転座標）では冒頭の Hamiltonian になる。$\bm{E}_0$ の位相を選んで $\Omega$ を実数にしてある。

ここまでは第18章と同じである。この章で新しく加えるのは、原子を取り巻く環境である。原子は、レーザーのモード以外の無数の真空のモードとも結合していて、そのモードへ光子を出して $| e \rangle$ から $| g \rangle$ へ落ちる（自然放出）。気体の中では、他の原子との衝突で $| e \rangle$ と $| g \rangle$ の重ね合わせの相対位相が乱される。これらのモードや衝突の相手は観測せず、原子だけを見る。観測しない自由度と結合した系の状態は、一般に1本の状態ベクトルで書けなくなる。

密度行列と Bloch ベクトル

状態ベクトルで書けない状態は、密度行列 $\hat\rho$ で表す。$| e \rangle ,| g \rangle$ の基底で

$$\hat\rho=\begin{pmatrix}\rho_{ee}&\rho_{eg}\\\rho_{ge}&\rho_{gg}\end{pmatrix},\qquad\rho_{ee}+\rho_{gg}=1,\qquad\rho_{ge}=\rho_{eg}^*\tag{19.1}$$

で、$\rho_{ee}$ が励起状態の占有確率、$\rho_{eg}=\langle e | \hat\rho | g \rangle$ が2つの準位の間のコヒーレンスである。エルミートで跡が $1$ の2行2列の行列は、単位行列と3つの Pauli 行列で展開でき、

$$\hat\rho=\frac12\bigl(1+u\sigma_x+v\sigma_y+w\sigma_z\bigr),\qquad u=\langle \sigma_x \rangle =2\operatorname{Re}\rho_{eg},\quad v=\langle \sigma_y \rangle =-2\operatorname{Im}\rho_{eg},\quad w=\langle \sigma_z \rangle =\rho_{ee}-\rho_{gg}\tag{19.2}$$

と書ける。3つの実数を並べた $\bm{R}=(u,v,w)$ を Bloch ベクトルと呼ぶ。$w$ は占有の差（$w=-1$ が基底状態、$w=+1$ が完全な反転）で、$u$ と $v$ がコヒーレンスの実部と虚部である。$\langle \sigma_+ \rangle =\rho_{ge}=(u+\mathrm{i} v)/2$ の関係も後で使う。

$\hat\rho$ の固有値が負にならない条件は $\lvert \bm{R}\rvert \le1$ で、純度は

$$\operatorname{Tr}\hat\rho^2=\frac{1+\lvert \bm{R}\rvert ^2}{2}\tag{19.3}$$

になる。$\lvert \bm{R}\rvert =1$（球面上）が純粋状態、$\lvert \bm{R}\rvert <1$（球の内部）が混合状態で、中心 $\bm{R}=0$ は2つの準位を半分ずつ占める完全な混合状態である。純粋状態 $| \psi \rangle =\cos(\theta/2)| e \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin(\theta/2)| g \rangle$ の Bloch ベクトルは $(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ で、$\theta$ と $\phi$ がそのまま球の極座標になる。北極が $| e \rangle$、南極が $| g \rangle$ である。この半径1の球が Bloch 球で、第15章（第15章）の偏光の Poincaré 球と同じ構成（2成分の複素ベクトルを Pauli 行列で3次元の単位ベクトルへ写す）でできている。