出てくるもの（1）：Rabi 振動・パルスの面積・エコー

光学と量子エレクトロニクス　第19章 §19.3　★★★ 共鳴の光は Bloch ベクトルを面積 $\int\Omega\,\mathrm{d} t$ だけ回す。緩和があると Rabi 振動は率 $(1/T_1+1/T_2)/2$ で減衰し、原子ごとの離調のばらつきで消えた信号は $\pi$ パルスでエコーとして戻る

パルスの面積

共鳴（$\Delta=0$）では回転軸 $\bm{\Omega}=(-\Omega,0,0)$ の向きが $\Omega$ の大きさに依らないので、$\Omega$ が時間とともに変わるパルスでも、Bloch ベクトルは同じ軸のまわりを回る。回る角は

$$\Theta=\int_{-\infty}^{\infty}\Omega(t)\,\mathrm{d} t\tag{19.11}$$

で決まり、パルスの形には依らない。これをパルスの面積と呼ぶ。緩和が無視できる短いパルスでは、南極から出発して $\rho_{ee}=\sin^2(\Theta/2)$ になる。$\Theta=\pi/2$ のパルス（$\pi/2$ パルス）は $| g \rangle$ を $| e \rangle$ と $| g \rangle$ の等しい重ね合わせへ、$\Theta=\pi$ のパルス（$\pi$ パルス）は $| g \rangle$ を $| e \rangle$ へ移す。$\pi$ パルスは占有を完全に反転させる操作で、Ramsey 分光（第24章・第28章、第24章・第28章）や原子干渉計の基本の操作になる。$\Theta=2\pi$ のパルスでは $\bm{R}$ は元に戻るが、状態ベクトルは $-1$ 倍になる。Bloch ベクトルは状態の全体の位相を見ないので、この符号は別の準位との干渉でだけ観測される。

減衰する Rabi 振動

連続の光を当て続けると、緩和のために Rabi 振動は減衰し、定常状態へ落ち着く。共鳴では式 (19.9) の $u$ が他から切り離され、$(v,w)$ は

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1/T_2&\Omega\\-\Omega&-1/T_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1/T_1\end{pmatrix}\tag{19.12}$$

に従う。行列の固有値は $-a\pm\mathrm{i}\lambda$ で、

$$a=\frac12\Bigl(\frac1{T_1}+\frac1{T_2}\Bigr),\qquad\lambda=\sqrt{\Omega^2-\frac14\Bigl(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\Bigr)^2}\tag{19.13}$$

である。$| g \rangle$（$v=0$、$w=-1$、したがって $\dot w(0)=0$）から出発する解は

$$w(t)=w_{\mathrm{ss}}-(1+w_{\mathrm{ss}})\,\mathrm{e}^{-at}\Bigl(\cos\lambda t+\frac a\lambda\sin\lambda t\Bigr),\qquad w_{\mathrm{ss}}=-\frac{1}{1+\Omega^2T_1T_2}\tag{19.14}$$

になる。自然放出だけのとき（$T_1=1/\Gamma$、$T_2=2/\Gamma$）は $a=3\Gamma/4$、$\lambda=\sqrt{\Omega^2-\Gamma^2/16}$ である。減衰の率 $3\Gamma/4$ は、占有の緩和 $\Gamma$ とコヒーレンスの緩和 $\Gamma/2$ の平均になっている。Rabi 振動の間、Bloch ベクトルは $v$ 軸と $w$ 軸の間を行き来し、半分の時間は占有として、半分の時間はコヒーレンスとして減衰を受けるからである。

図 19.2 のように、定常状態の占有は $1/2$ を超えない。強い光では $w_{\mathrm{ss}}\to0$ で、原子は $| e \rangle$ と $| g \rangle$ を半分ずつ占める完全な混合状態（Bloch 球の中心）に落ち着く。振動が見えるためには、減衰の時間 $1/a$ の間に何周期か回る必要があり、$\Omega\gg\Gamma$ が条件になる。

不均一な広がりとエコー

気体の原子は Doppler 効果で、固体の中の不純物は周りの環境の違いで、原子ごとに遷移周波数が少しずつ違う。それぞれの原子の離調が違うと、自由に歳差する間に $(u,v)$ 面の中での向きがばらばらになり、集まり全体のコヒーレンス（分極）は個々の原子の $T_2$ より速く消える。離調の分布の幅で決まるこの見かけの減衰の時間を $T_2^*$ と書き、不均一な広がりと呼ぶ。個々の原子の $T_2$ による広がり（均一な広がり）とは、次の操作で区別できる。

時刻 $0$ に $\pi/2$ パルスを当てると、すべての原子の $\bm{R}$ は南極から $(0,-1,0)$ へ倒れる。そこから光を切ると、離調 $\Delta$ の原子の $u+\mathrm{i} v$ は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta t}$ で回り、向きが広がる。時刻 $\tau$ に $u$ 軸のまわりの $\pi$ パルスを当てると $(u,v,w)\to(u,-v,-w)$ で、$u+\mathrm{i} v$ は複素共役になる。その後も同じ向きに回るので、時刻 $t$ では $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Delta\tau}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\Delta(t-\tau)}$ の位相を持ち、$t=2\tau$ で $\Delta$ に依らず元の向きにそろう。速い原子も遅い原子も、往きに広がった分だけ帰りに戻るからである。そろった瞬間に集まりの分極が戻って光を出し、これをエコーと呼ぶ。エコーの大きさは、ばらつきで消えた分を除き、個々の原子の $T_2$ だけで $\mathrm{e}^{-2\tau/T_2}$ に減る。磁気共鳴のスピンエコー（E. L. Hahn (1950)、Phys. Rev. 80, 580）を光の遷移で行ったものが光子エコー（N. A. Kurnit, I. D. Abella, S. R. Hartmann (1964)、Phys. Rev. Lett. 13, 567、ルビーの結晶）である。