授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第19章 §19.6　★★ 学部の量子力学の Rabi の公式と時間に依る摂動論、磁気共鳴の Bloch 方程式、レート方程式が、この章の光 Bloch 方程式のどの場合に当たるか

学部の量子力学では、2準位系に振動する摂動を加えた問題を、状態を $| \psi \rangle =c_e(t)| e \rangle +c_g(t)| g \rangle$ と展開して係数の方程式を解く形で習う。回転波近似で速く振動する項を落とすと係数の方程式は定数係数になり、

$$\lvert c_e(t)\rvert ^2=\frac{\Omega^2}{\Omega^2+\Delta^2}\sin^2\frac{\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}\,t}{2}$$

を得る。これを Rabi の公式と呼び、この章の式 (19.6) と同じである。この章の言葉では、これは緩和の無い場合の Bloch ベクトルの歳差を、$w$ 成分だけ取り出したものである。

$\Omega$ が小さいとき、Rabi の公式は $\lvert c_e\rvert ^2\approx(\Omega t/2)^2\,\mathrm{sinc}^2(\Delta t/2)$（$\mathrm{sinc}\,x=\sin x/x$）になる。これは時間に依る摂動論の1次の遷移確率で、$t$ が大きいと $\Delta$ について幅 $\sim1/t$ の鋭い関数になり、連続的な状態や光のスペクトルについて積分すると、遷移確率が $t$ に比例する Fermi の黄金律になる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第12章）。黄金律が使えるのは、Rabi 振動の周期より短い時間か、緩和で振動が消えた後の時間である。

磁気共鳴の授業では、磁化 $\bm{M}$ について

$$\frac{\mathrm{d} \bm{M}}{\mathrm{d} t}=\gamma\bm{M}\times\bm{B}-\frac{M_x\bm{e}_x+M_y\bm{e}_y}{T_2}-\frac{(M_z-M_0)\bm{e}_z}{T_1}$$

を Bloch 方程式として習う。$\gamma\bm{M}\times\bm{B}=-\gamma\bm{B}\times\bm{M}$ なので、回転座標で $-\gamma\bm{B}$ を $\bm{\Omega}$ と、$\bm{M}/M_0$ を $-\bm{R}$（熱平衡の向きの符号を合わせる）と読み替えると、式 (19.9) と同じ形になる。違うのは熱平衡の値で、核スピンの熱平衡の磁化 $M_0$ は小さく（$\hbar\omega_0\ll k_{\mathrm B} T$）、光の遷移では熱平衡が $w=-1$（完全に下の準位）である。

レーザーの授業で使うレート方程式は、光 Bloch 方程式で $T_2$ が短い極限である。$T_2$ が Rabi 振動の周期や $T_1$ より十分短いと、$u,v$ は $w$ の変化に遅れずに $w$ で決まる値へ落ち着く（断熱消去）。式 (19.9) の最初の2式の左辺を $0$ とおくと $v=\Omega T_2w/(1+\Delta^2T_2^2)$ で、第3式に入れると

$$\frac{\mathrm{d} \rho_{ee}}{\mathrm{d} t}=-W(\rho_{ee}-\rho_{gg})-\frac{\rho_{ee}}{T_1},\qquad W=\frac{\Omega^2T_2}{2(1+\Delta^2T_2^2)}\tag{19.24}$$

になる。$W$ は誘導遷移の率で、吸収（$\rho_{gg}$ に比例して上がる）と誘導放出（$\rho_{ee}$ に比例して下がる）が同じ率を持つ。自然放出だけで共鳴なら $W=\Omega^2/\Gamma$ で、光の強度に比例する。この率を光のエネルギー密度あたりで書いたものが Einstein の $B$ 係数（第20章、第20章）で、式 (19.24) を多準位へ広げたものが第21章（第21章）のレート方程式と反転分布の話になる。断熱消去が使える条件（$T_2$ と Rabi の周期・$T_1$ の比）と誤差は第21章で調べる。レート方程式は占有だけを追うので、Rabi 振動やエコーのようなコヒーレンスの現象は書けない。